Entiers

Retrouver tous les sujets résolus.
Répondre
nicolas

Entiers

Message par nicolas » mar. 20 oct. 2020 12:47

Bonjour,
Je souhaiterais résoudre ce problème mais je ne sais pas comment.

Quels sont les entiers n ≥ 2 tels que, si on note a le plus petit diviseur
premier de n, on peut trouver un diviseur positif de n noté d tel que n = a[sup]3[/sup]+d[sup]3[/sup] ?

Proposition
Je pense que le plus petit diviseur premier de n est 2 (a=2).
Pour n=9 et d=1, 9=8+1
Pour n=16 et d=2, 16=8+8
Pour n=35 et d=3, 35=8+27
Pour n=72 et d=4, 72=8+64
Pour n=133 et d=5, 133=8+125
Pour n=224 et d=6, 224=8+216
Pour n=351 et d=7, 351=8+343
Pour n=520 et d=8, 520=8+512
sos-math(21)
Messages : 8781
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: Entiers

Message par sos-math(21) » mar. 20 oct. 2020 19:45

Bonjour,
Je ne comprends pas trop ta question.... Est ce que tu peux envoyer l’énoncé original ?
Que faut il déterminer ?
Merci de préciser
Bonne continuation
nicolas

Entiers

Message par nicolas » mar. 20 oct. 2020 21:40

Bonsoir,
L'énoncé demande de déterminer les entiers n supérieurs ou égaux à 2 tels que, si on note a le plus petit diviseur premier de n, on peut trouver un diviseur positif de n noté d tel que n = a^3 + d^3.
Merci de votre aide.
sos-math(21)
Messages : 8781
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: Entiers

Message par sos-math(21) » mer. 21 oct. 2020 07:23

Bonjour,
le principe est de chercher la forme que peut prendre un nombre entier vérifiant cette propriété.
On part de l'hypothèse : on considère un entier \(n\) tel que pour \(a\) plus petit diviseur premier de \(n\), il existe un diviseur \(d\) de \(n\), tel que \(n=a^3+d^3\). \(a\) est un diviseur de \(n\), donc il existe un entier \(k\) tel que \(n=ka=a^3+d^3\) donc \(d^3=ka-a^3=a(k-a^2)\). Cette égalité prouve que \(a\) est un diviseur de \(d^3\) et comme \(a\) est premier, \(a\) est un diviseur de \(d\).
Ainsi l'hypothèse de départ entraîne qu'il existe un entier \(p\), tel que \(d=pa\), ainsi \(n=a^3+p^3a^3=a^3(1+p^3)\).
Cela te donne la forme générale des entiers... Il te reste à vérifier la réciproque : si un entier est de la forme \(n=a^3(1+p^3)\), avec \(a\) son plus petit diviseur premier et \(pa\) un diviseur de \(n\) alors il vérifie bien la propriété du départ.
Je n'avais pas répondu sur les exemples que tu avais trouvés mais certains étaient faux :
Pour n=9 et d=1, 9=8+1 2 ne divise pas 9
Pour n=16 et d=2, 16=8+8
Pour n=35 et d=3, 35=8+27 3 ne divise pas 35
Pour n=72 et d=4, 72=8+64
Pour n=133 et d=5, 133=8+125 2 ne divise pas 133 et 5 ne divise pas 133
Pour n=224 et d=6, 224=8+216 6 ne divise pas 224
Pour n=351 et d=7, 351=8+343 2 ne divise pas 351 et 7 non plus
Pour n=520 et d=8, 520=8+512
Je te laisse poursuivre le raisonnement,
Bonne continuation
Répondre