Fractions

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Léa

Fractions

Message par Léa » sam. 5 sept. 2020 17:55

Bonjour voici mon exercice que je n'arrive pas à comprendre

En étudiant 1/2 - 1/3 puis 1/3 - 1/4, il est possible de donner, en moins d'une minute une fraction égale à la somme :
S= 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90
Explique pourquoi?

Merci de votre aide.
sos-math(21)
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Re: Fractions

Message par sos-math(21) » sam. 5 sept. 2020 18:02

Bonjour,
si tu calcules \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\) cela fait \(\dfrac{1}{6}\), ce qui correspond au premier terme de ta somme
si tu calcules \(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\) cela fait \(\dfrac{1}{12}\), ce qui correspond au deuxième terme de ta somme
si tu calcules \(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\) cela fait \(\dfrac{1}{20}\), ce qui correspond au troisième terme de ta somme
...
si tu calcules \(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}\) cela fait \(\dfrac{1}{90}\), ce qui correspond au dernier terme de ta somme.
Donc ta somme \(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\ldots+\dfrac{1}{90}\) est aussi égale à une somme de différences :
\(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\ldots+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}\)
Il y a des simplifications à faire, ce qui te permettra d'obtenir très rapidement ta somme comme une différence de seulement deux fractions.
Je te laisse terminer.
Bonne continuation
Antoine

Re: Fractions

Message par Antoine » dim. 6 déc. 2020 11:22

Je ne comprend pas la fin de vôtre réponse avec les simplifications
sos-math(21)
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Re: Fractions

Message par sos-math(21) » dim. 6 déc. 2020 11:31

Bonjour,
la somme que tu cherches peut se décomposer : chaque terme de ta somme se décompose en une différences de deux fractions :
\(\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\)
\(\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\)
...
\(\dfrac{1}{90}=\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}\)
Si tu fais la somme de toutes les fractions à gauche, tu retrouves la somme cherchée qui est donc égale à la somme de toutes les fractions à droite :
\(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\ldots+\dfrac{1}{90}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}\)
Or dans le membre de droite, il y a beaucoup de simplifications à faire et il ne restera que les fractions extrêmes.
Bonne simplification
Antoine

Re: Fractions

Message par Antoine » dim. 6 déc. 2020 11:49

Je suis désolé de vous déranger encore, mais je ne vois pas quelles simplifications faire 😅
SoS-Math(34)
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Re: Fractions

Message par SoS-Math(34) » dim. 6 déc. 2020 12:32

Dans ta somme, il y a par exemple -1/3 + 1/3 qui est égal à 0, puis -1/4 + 1/4 = 0...
Il y a plusieurs termes de ta somme qui "s'éliminent".
Regarde bien, une fois ton calcul simplifié, il ne restera que deux fractions.

Bonne recherche
sosmaths
Invité

Re: Fractions

Message par Invité » dim. 6 déc. 2020 12:44

Ah oui, effectivement, je supprimais à chaque fois qu’un seul des deux termes, quel idiot 😅
Merci de votre aide
Bon dimanche
SoS-Math(33)
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Re: Fractions

Message par SoS-Math(33) » dim. 6 déc. 2020 13:00

Bonne continuation
A bientôt sur le forum
SoS-math
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