Bonjour,
Je bloque sur une question de mon DM de math et j'aimerai que vous m'aidiez.
Dans mon DM, on me dit que :
ABCD est un parallélogramme de centre O ; I est le centre de gravité du triangle ABD.
On rappelle que par défnition, on a la relation vectorielle : \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}\)
On me demande alors de démonter que \(\overrightarrow{AI} = 1/3 \overrightarrow{AC}\) mais c'est là que je bloque.
Si vous pouviez m'aider.
Bonne journée a vous.
Aide devoir de Math Vecteur
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Arthur
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Aide devoir de Math Vecteur
Bonjour,
il faut d'abord que tu prouves que \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IO}\) cela se fait avec la relation de Chasles en intercalant le point \(O\), milieu de \([BD]\) (car centre du parallélogramme donc milieu des diagonales) dans les vecteurs \(\overrightarrow{IB}\) et \(\overrightarrow{ID}\) :
\(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OD}\) : le fait que \(O\) soit le milieu de \([BD]\) permet de simplifier la somme vectorielle.
Une fois que tu as établi cette relation, \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IO}\),
tu la réinjectes dans la relation vectorielle du centre de gravité : \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\)
qui devient :
\(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IO}=\overrightarrow{0}\)
Ensuite tu intercales \(A\) dans le deuxième vecteur avec Chasles pour obtenir une relation entre \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{AO}\), ce qui te permettra ensuite d'obtenir une relation entre \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{AC}\) car \(\overrightarrow{AO}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
Bon travail
il faut d'abord que tu prouves que \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IO}\) cela se fait avec la relation de Chasles en intercalant le point \(O\), milieu de \([BD]\) (car centre du parallélogramme donc milieu des diagonales) dans les vecteurs \(\overrightarrow{IB}\) et \(\overrightarrow{ID}\) :
\(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OD}\) : le fait que \(O\) soit le milieu de \([BD]\) permet de simplifier la somme vectorielle.
Une fois que tu as établi cette relation, \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IO}\),
tu la réinjectes dans la relation vectorielle du centre de gravité : \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\)
qui devient :
\(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IO}=\overrightarrow{0}\)
Ensuite tu intercales \(A\) dans le deuxième vecteur avec Chasles pour obtenir une relation entre \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{AO}\), ce qui te permettra ensuite d'obtenir une relation entre \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{AC}\) car \(\overrightarrow{AO}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
Bon travail