Dm math

[léo]

Bonjour sos math

ABC est un triangle


1 - Placer le point D défini par \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\). Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?

2- Soit le point B est le milieu de [BC]. Placer le point G défini par \(\overrightarrow{AG} = 2 / 3 \overrightarrow{AI}\)

3 - Les points G, I et D sont-ils alignés ?

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Voilà ce que je propose pour la 1 )

je dois tracer la somme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) et du vecteur \(\overrightarrow{AC}\)
je trace la droite parallèle à (AC) passant par le point B, puis la parallèle à (AB) passant par le point C, les deux droites se coupent en un point que je vais appeler le point D
comme \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}\)

je reprends le vecteur somme \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)
qui s'écrit maintenant :
\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}\)

-

[SoS-Math(34)]

Bonjour Léo,

D'accord pour la construction de D.
Tu peux continuer.
Le cours va t'indiquer la nature de ABDC, que tu peux ceci dit comprendre par arguments de parallélisme.

Bonne recherche
sosmaths

[léo]

Bonsoir sos math (34)

j'utilise la réciproque du théorème : Si ABDC est un parallélogramme alors les vecteurs \(\overrightarrow{BD}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont égaux

en traçant la parallèle à la droite (AC) passant par le point D et la parallèle à la droite (AB) passant par le point C
et bien j'ai construit un représentant du vecteur \(\overrightarrow{AC}\)

donc d'après la définition de deux vecteurs égaux :
les vecteurs \(\overrightarrow{AC}\)et \(\overrightarrow{BD}\) sont égaux : ils ont la même direction, les droites sont bien parallèles, ils ont le même sens , je vais de A vers C et de B vers D

pour la norme
le vecteur \(\overrightarrow{AC}\) a la même norme que le vecteur \(\overrightarrow{BD}\) , on a évidemment la même norme

donc j'utilise la réciproque de mon théorème :
si \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}\) alors ABDC est un parallèlogramme

[léo]

pour la 3 )
je veux utiliser le critère de colinéarité pour démontrer que deux vecteurs sont colinéaires
en effet, je sais que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si AG = k AI
et là, j'ai AG = 3 / 2 AI
alors, je peux dire que AG et AI sont colinéaires

mais pour démontrer que le point I et le point D sont alignés , et bien là je vois pas du tout .....

[SoS-Math(31)]

Bonjour Léo,
Réponse à l'avant dernier message : Connais tu la relation qui donne \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}\) ?
Réponse au dernier message : Il faut montrer que deux vecteurs formés par G, I, D sont colinéaires. Par exemple \(\overrightarrow{IG} et \overrightarrow{ID}\).

[léo]

Bonsoir sos math ( 31 )

pour la 1 ) ( je redis ce que j'ai fait ) comme c'était sos 33 qui était là tout à l'heure
je dois placer le point D défini par \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}\)

là, je reconnais la règle du parallélogramme : les vecteurs \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AB}\) ont la même origine

je trace la parallèle à la droite (AC) passant par le point B puis la parallèle à la droite (AB) passant par le point C
ces deux droites se coupent en un même point que j'appelle le point D en fait pour avoir mon vecteur AD ( par la suite )

donc comme j'ai \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}\)

le vecteur somme \(\overrightarrow{AD}\) qui était \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}\)
s'écrit maintenant : \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\)
j'ai bien le point D tel que \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\)

Pour démontrer que ABDC est un parallélogramme
et bien, d'après le théorème : ABDC est un parallélogramme alors \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}\)
donc si j'ai deux vecteurs qui sont égaux, et bien dans ce cas j'utilise la réciproque
mais là, dans votre message vous me parler de la relation qui donne \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}\)
et je ne vois pas ...

[SoS-Math(31)]

Oui, j'ai lu votre premier message. Pour la construction, c'est d'accord .
Pou la démonstration soit vous reconnaissez la règle du parallélogramme et là vous avez directement ABDC parallélogramme
sinon il faut montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{AC}et \overrightarrow{BD}\) sont égaux. Ce que vous n'avez pas fait !
\(\overrightarrow{BD}\) = \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}\) . Démonstration à continues
Réponse au dernier message : Il faut montrer que deux vecteurs formés par G, I, D sont colinéaires. Par exemple \(\overrightarrow{IG} et \overrightarrow{ID}\).[/quote]

[léo]

j'ai construit un représentant du vecteur \(\overrightarrow{AC}\) d'origine B
et bien les vecteurs \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BD}\) vont avoir la même direction : les droites qui portent les vecteurs sont bien parallèles, ils ont le même sens ( je vais de A vers C et de B vers D )
et pour la norme, on a évidemment la même norme pour ces deux vecteurs

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Léo,

Tu peux montrer que ces deux vecteurs sont égaux en partant du fait que D est le point tel que \(\vec{BD}\) est un représentant de \(\vec{AC}\). On a donc bien \(\vec{BD}=\vec{AC}\), c'est à dire ABDC est un parallélogramme.

A bientôt.

[léo]

Bonsoir sos (7)

merci de m'avoir répondu
cela dit, sans vouloir vous déranger, je n'ai pas toujours pas compris pourquoi on peut également passer par \(\overrightarrow{BD}\) = \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}\) comme c'est indiqué dans le post de 19 h 19
\(\overrightarrow{BA}\) est un coté du triangle ABC ( je l'ai fait en trait noir )
et [AD] est la diagonale du parallèlogramme ABDC ( j'ai tracé en rouge )
je vois pas du tout .....

[sos-math(21)]

Bonjour,
la relation du parallélogramme \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) signifie que ABDC est un parallélogramme mais on peut aussi dire utiliser la relation de Chasles : \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\underbrace{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}}_{\overrightarrow{0}}+\overrightarrow{AC}\)
donc \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}\) ce qui prouve bien que ABDC est un parallélogramme.

[léo]

Bonsoir

\(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB}\)

D'après la relation de Chasles, je vais dire que pour tout point A et B du plan
si j'ajoute le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) plus le vecteur \(\overrightarrow{BA}\), et bien d'après la relation de Chasles, ça va être le vecteur \(\overrightarrow{BB}\) que je vais obtenir
et nous avons défini qu'est ce que c'était le vecteur nul
on avait dit que pour tout point B du plan, le vecteur \(\overrightarrow{BB}\) est égal au vecteur nul

donc \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{AC}\)

jusque là je comprends

mais je ne vois pas comment passe t-on de
\(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}\)
à
\(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)

Comment introduit on le vecteur AC
je ne comprends décidément rien, pouvez vous m'aidez ? s'il vous plaît

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Léo

Lorsque l'on travaille avec les vecteurs, il est important de bien avoir à l'esprit la figure et ce qui a été fait.
Ici tu as dès le départ la relation \(\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{AC}\)
Ainsi \(\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{AD}\) d'après la relation de Chasles. Or \(\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{AC}\) donc \(\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{AB}+\vec{AC}\) ainsi \(\vec{BD}=\vec{AC}\), ce qui prouve bien que ABDC est un parallélogramme.

Bonne continuation.

[léo]

oK

merci beaucoup sos (7) , cela dit c'est astucieux ....

[SoS-Math(7)]

Bonne continuation et à bientôt.