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égalité de cosinus
Posté : sam. 3 déc. 2016 16:07
par nico
Bonjour SOS math
je commence la trigonométrie ,avec les équations cosinus dans R
et je ne comprends pas ceci
cos U = cos V
tout d'abord , je dois visualiser sur la figure ce que signifie cette égalité de cosinus ???
Re: égalité de cosinus
Posté : sam. 3 déc. 2016 16:33
par SoS-Math(33)
Bonjour nico,
si tu dois résoudre cos(U)=cos(V )dans \(R\), effectivement tu peux commencer à essayer de visualiser sur le cercle trigonométrique.
Tu dois visualiser sur un tour quels sont les angles qui donne le même cosinus et ensuite utiliser la périodicité du cosinus.
Sur le schéma les deux angles ont le même cosinus donc soit ils sont égaux ( U=V) soit ......
Re: égalité de cosinus
Posté : sam. 3 déc. 2016 18:14
par nico
Bonsoir SOS 33
tout d'abord ,merci beaucoup à SOS math
par contre , pour le cercle trigonométrique, je me rends compte que j'ai du mal à démarrer .......
------> tu dois visualiser sur un tour quels sont les angles qui donne le même cosinus
je me place à l'origine
puis je parcours le cercle (dans le sens trigonométrique )
et je trouve \(\frac{\pi }{4}\)
je vais tracer une droite verticale en pointillée qui va descendre sur l'axe des abscisses
Re: égalité de cosinus
Posté : sam. 3 déc. 2016 18:24
par SoS-Math(33)
nico,
le schéma que je t'ai donné c'est un exemple quelconque pour te montrer que pour une même valeur du cosinus tu as deux angles possible sur le cercle trigonométrique.
Ces deux angles sont liés par une relation ici: si tu appelles l'un U le second est -U et ensuite il faut penser au modulo c'est à dire que à chaque tour tu retombes à la même valeur du cosinus sauf que l'angle à varié de \(2k\pi\)
Re: égalité de cosinus
Posté : sam. 3 déc. 2016 18:46
par yann
Bonsoir SOS 33
en fait , il s'agit de cette propriété qui ne va pas
\(cos U = cos V \Leftrightarrow U = V + k 2 \pi\) ou \(U = - V + k 2 \pi\)
Re: égalité de cosinus
Posté : sam. 3 déc. 2016 18:51
par SoS-Math(33)
je comprends pas pourquoi tu dis que la propriété ne va pas.
C'est pas ce que l'on te demande dans ton exercice?
Re: égalité de cosinus
Posté : sam. 3 déc. 2016 18:59
par nico
Bonsoir SOS 33
c'est moi qui ne comprend pas la propriété
on part de cos U = cos V
jusque là , je comprends
en fait , si je prends un exemple
je prends \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) sur l'axe des abscisses
je vais trouver 2 angles différents , un angle qui sera dans le quart supérieur et l'autre en dessus (qui sera son opposé
Re: égalité de cosinus
Posté : sam. 3 déc. 2016 19:09
par SoS-Math(33)
Bonsoir nico
tu as compris
si tu prends \(\sqrt{\frac{3}{2}}\) sur l'axe des abscisses
tu vas trouver 2 angles différents , un angle qui sera dans le quart supérieur \(\frac{\pi}{6}\) et l'autre en dessus (qui sera son opposé) \(\frac{-\pi}{6}\) et pour résoudre dans \(R\) ça te donne :\(\frac{\pi}{6} + {2k\pi}\) et \(\frac{-\pi}{6} + {2k\pi}\)
Re: égalité de cosinus
Posté : sam. 3 déc. 2016 19:34
par nico
Bonsoir SOS 33
ça me rassure un peu
merci pour vos explications
\(cos U = cos V \Leftrightarrow U = V + k 2 \pi\)
\(cos U = cos V \Leftrightarrow U = V + k '2 \pi\)
avec k et k' appartenant à Z
dans la définition , notre professeur prend k et k '
donc ce sont 2 valeurs différentes
théoriquement , on peut faire autant de tours que l'on veut sur un cercle
donc pour quelles raisons prendre k et k'
Re: égalité de cosinus
Posté : sam. 3 déc. 2016 21:00
par SoS-Math(32)
Bonsoir Nico,
Que tu prennes k ou k', cela exprime les mêmes solutions : U = V avec le nombre de tours correspondants.
Par contre, n'oublie pas les angles symétriques par rapport à l'axe des abscisses...
2 angles symétriques par rapport à l'axe des abscisses ont le même cosinus.
C'est ce que tu avais écrit : \(U=-V+2k\pi\) .
Bon courage,
SOS-math.
Re: égalité de cosinus
Posté : sam. 3 déc. 2016 21:19
par nico
Bonsoir SOS 32
bonne soirée
quand j'ai une équation à résoudre comme par exemple \(cos(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
1) je dois utiliser le cercle trigonométrique afin de trouver les 2 valeurs qui correspondent à \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
je peux dire que \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) est le cosinus de \(\frac{\pi }{6}\) et de \(-\frac{\pi }{6}\)
comme \(cos \frac{\pi }{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(cos (2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
2) je peux écrire \(cos (2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
c'est OK ??
Re: égalité de cosinus
Posté : sam. 3 déc. 2016 22:22
par SoS-Math(32)
Bonsoir Nico,
Tu as donc trouvé \(cos(2x)={cos({\pi\over6})}\) .
Applique alors la propriété si cosU=cosV alors \(U=V+2k\pi\) ou \(U=-V+2k\pi\) en prenant \(U=2x\) et \(V={\Pi\over6}\);
Bon courage et bonne soirée.
SOS-math.
Re: égalité de cosinus
Posté : sam. 3 déc. 2016 22:50
par nico
Bonsoir SOS 32
\(cos (2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
j'applique la propriété \(cos U = cos V \Leftrightarrow U = V + k 2 \pi\)ou \(U = - V + k 2 \pi\)
\(cos (2x) = cos (\frac{\pi }{6})\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{6}+ 2 k \pi\) ou \(2x =- \frac{\pi }{6}+ 2 k' \pi\)
j'ai simplifié les cos de chaque coté de l'égalité
maintenant je vais simplifier par 2 en divisant chaque membre de l'égalité
\(x = \frac{\pi }{3}+ k' \pi\) ou \(x =- \frac{\pi }{3}+ k' \pi\)
les solutions de l'équation sont \(S = \begin{Bmatrix}
x = \frac{\pi }{3}+ k' \pi ; x = -\frac{\pi }{3}+ k' \pi (k ,k' ) \in Z
\end{Bmatrix}\)
Bonne soirée , bon samedi à SOS math
Re: égalité de cosinus
Posté : sam. 3 déc. 2016 23:45
par SoS-Math(33)
Attention nico,
quand tu divises par 2 \(\frac{\pi}{6}\) tu obtiens pas \(\frac{\pi}{3}\) mais \(\frac{\pi}{12}\) sinon le reste de ton raisonnement est correct.
Bonne soirée.