égalité de cosinus

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nico

égalité de cosinus

Message par nico » sam. 3 déc. 2016 16:07

Bonjour SOS math

je commence la trigonométrie ,avec les équations cosinus dans R
et je ne comprends pas ceci

cos U = cos V

tout d'abord , je dois visualiser sur la figure ce que signifie cette égalité de cosinus ???
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Re: égalité de cosinus

Message par SoS-Math(33) » sam. 3 déc. 2016 16:33

Bonjour nico,
si tu dois résoudre cos(U)=cos(V )dans \(R\), effectivement tu peux commencer à essayer de visualiser sur le cercle trigonométrique.
Tu dois visualiser sur un tour quels sont les angles qui donne le même cosinus et ensuite utiliser la périodicité du cosinus.
geogebra-export.png
Sur le schéma les deux angles ont le même cosinus donc soit ils sont égaux ( U=V) soit ......
nico

Re: égalité de cosinus

Message par nico » sam. 3 déc. 2016 18:14

Bonsoir SOS 33

tout d'abord ,merci beaucoup à SOS math

par contre , pour le cercle trigonométrique, je me rends compte que j'ai du mal à démarrer .......

------> tu dois visualiser sur un tour quels sont les angles qui donne le même cosinus
je me place à l'origine
puis je parcours le cercle (dans le sens trigonométrique )
et je trouve \(\frac{\pi }{4}\)
je vais tracer une droite verticale en pointillée qui va descendre sur l'axe des abscisses
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Re: égalité de cosinus

Message par SoS-Math(33) » sam. 3 déc. 2016 18:24

nico,
le schéma que je t'ai donné c'est un exemple quelconque pour te montrer que pour une même valeur du cosinus tu as deux angles possible sur le cercle trigonométrique.
Ces deux angles sont liés par une relation ici: si tu appelles l'un U le second est -U et ensuite il faut penser au modulo c'est à dire que à chaque tour tu retombes à la même valeur du cosinus sauf que l'angle à varié de \(2k\pi\)
yann

Re: égalité de cosinus

Message par yann » sam. 3 déc. 2016 18:46

Bonsoir SOS 33

en fait , il s'agit de cette propriété qui ne va pas

\(cos U = cos V \Leftrightarrow U = V + k 2 \pi\) ou \(U = - V + k 2 \pi\)
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Re: égalité de cosinus

Message par SoS-Math(33) » sam. 3 déc. 2016 18:51

je comprends pas pourquoi tu dis que la propriété ne va pas.
C'est pas ce que l'on te demande dans ton exercice?
nico

Re: égalité de cosinus

Message par nico » sam. 3 déc. 2016 18:59

Bonsoir SOS 33

c'est moi qui ne comprend pas la propriété
on part de cos U = cos V
jusque là , je comprends
en fait , si je prends un exemple
je prends \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) sur l'axe des abscisses
je vais trouver 2 angles différents , un angle qui sera dans le quart supérieur et l'autre en dessus (qui sera son opposé
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Re: égalité de cosinus

Message par SoS-Math(33) » sam. 3 déc. 2016 19:09

Bonsoir nico
tu as compris
si tu prends \(\sqrt{\frac{3}{2}}\) sur l'axe des abscisses
tu vas trouver 2 angles différents , un angle qui sera dans le quart supérieur \(\frac{\pi}{6}\) et l'autre en dessus (qui sera son opposé) \(\frac{-\pi}{6}\) et pour résoudre dans \(R\) ça te donne :\(\frac{\pi}{6} + {2k\pi}\) et \(\frac{-\pi}{6} + {2k\pi}\)
nico

Re: égalité de cosinus

Message par nico » sam. 3 déc. 2016 19:34

Bonsoir SOS 33

ça me rassure un peu
merci pour vos explications


\(cos U = cos V \Leftrightarrow U = V + k 2 \pi\)

\(cos U = cos V \Leftrightarrow U = V + k '2 \pi\)

avec k et k' appartenant à Z

dans la définition , notre professeur prend k et k '
donc ce sont 2 valeurs différentes
théoriquement , on peut faire autant de tours que l'on veut sur un cercle
donc pour quelles raisons prendre k et k'
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Re: égalité de cosinus

Message par SoS-Math(32) » sam. 3 déc. 2016 21:00

Bonsoir Nico,
Que tu prennes k ou k', cela exprime les mêmes solutions : U = V avec le nombre de tours correspondants.
Par contre, n'oublie pas les angles symétriques par rapport à l'axe des abscisses...
2 angles symétriques par rapport à l'axe des abscisses ont le même cosinus.
C'est ce que tu avais écrit : \(U=-V+2k\pi\) .
Bon courage,
SOS-math.
nico

Re: égalité de cosinus

Message par nico » sam. 3 déc. 2016 21:19

Bonsoir SOS 32

bonne soirée

quand j'ai une équation à résoudre comme par exemple \(cos(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
1) je dois utiliser le cercle trigonométrique afin de trouver les 2 valeurs qui correspondent à \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
je peux dire que \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) est le cosinus de \(\frac{\pi }{6}\) et de \(-\frac{\pi }{6}\)

comme \(cos \frac{\pi }{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(cos (2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
2) je peux écrire \(cos (2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

c'est OK ??
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Re: égalité de cosinus

Message par SoS-Math(32) » sam. 3 déc. 2016 22:22

Bonsoir Nico,
Tu as donc trouvé \(cos(2x)={cos({\pi\over6})}\) .
Applique alors la propriété si cosU=cosV alors \(U=V+2k\pi\) ou \(U=-V+2k\pi\) en prenant \(U=2x\) et \(V={\Pi\over6}\);
Bon courage et bonne soirée.
SOS-math.
nico

Re: égalité de cosinus

Message par nico » sam. 3 déc. 2016 22:50

Bonsoir SOS 32

\(cos (2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

j'applique la propriété \(cos U = cos V \Leftrightarrow U = V + k 2 \pi\)ou \(U = - V + k 2 \pi\)

\(cos (2x) = cos (\frac{\pi }{6})\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{6}+ 2 k \pi\) ou \(2x =- \frac{\pi }{6}+ 2 k' \pi\)

j'ai simplifié les cos de chaque coté de l'égalité

maintenant je vais simplifier par 2 en divisant chaque membre de l'égalité

\(x = \frac{\pi }{3}+ k' \pi\) ou \(x =- \frac{\pi }{3}+ k' \pi\)

les solutions de l'équation sont \(S = \begin{Bmatrix} x = \frac{\pi }{3}+ k' \pi ; x = -\frac{\pi }{3}+ k' \pi (k ,k' ) \in Z \end{Bmatrix}\)


Bonne soirée , bon samedi à SOS math
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Re: égalité de cosinus

Message par SoS-Math(33) » sam. 3 déc. 2016 23:45

Attention nico,
quand tu divises par 2 \(\frac{\pi}{6}\) tu obtiens pas \(\frac{\pi}{3}\) mais \(\frac{\pi}{12}\) sinon le reste de ton raisonnement est correct.
Bonne soirée.
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