Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé

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Mathieu

Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé

Message par Mathieu » sam. 3 mai 2014 15:59

Bonjour, j'ai un DM à faire sur lequel je sèche vers la fin :

Objectif : On munit le plan dans un repère orthonormé (O,i,j). On sait que deux droites D : y=ax+b et D' y=a'x+b' sont parallèles ssi a=a'. On va démontrer que ces deux droites sont perpendiculaires si aa'=1.

1ère partie : Droites perpendiculaires passant par l'origine. Soient deux droites D0 : y=ax et D1 : y=a'x
1- Soit A le point d'intersection D0 d'abscisse xA=1 et A' le point d'intersection de D' d'abscisse xA'=1
J'ai remplacé dans les équations des droites la valeur de x, le point A a donc comme coordonnées (1;a) et A' (1;a')

2- Exprimer en fonction de a et de a' les distances OA, OA' et AA'
OA = Racine carré de (1+a²)
OA' = Racine carré de (1+a'²)
AA' = a'-a

3- En déduire l'expression de OA² + OA'² et AA'²
OA² + OA'² = 2+a²+a'²
AA'² = a'²-2aa'+a²
4- Démontrer que D0 et D1 sont perpendiculaires <=> aa'=-1
J'ai terminé cette première partie en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.
OA² + OA' = AA'²
2+a²+a'²=a'²-2aa'+a²
2=-2aa'
aa'=2/(-2)=-1 donc les deux droites sont perpendiculaires car le produit de leur coeff directeur est égal à -1

2ème partie (là où je sèche) : Droites perpendiculaires. Soient deux droites D : y=ax+b et y =a'+b'
On utilise la même méthode que pour la partie 1
1- Démontrer que D et D' sont perpendiculaires <=> aa'=-1
Je ne vois pas comment utiliser la même méthode pour la demonstration.

Merci de votre aide.

Mat.
SoS-Math(9)
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Re: Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé

Message par SoS-Math(9) » sam. 3 mai 2014 16:58

Bonjour Mathieu,

ton travail pour la 1ère partie est bon sauf pour la question 2 ...
en effet \(AA^,=\sqrt{(1-1)^2+(a-a^,)^2}=\sqrt{(a-a^,)^2}\).
tu ne peux pas simplifier car tu ne connais pas le signe de a-a' .... Tu as deux cas possibles :
\(AA^,=\left\{\begin{matrix}a^,-a \ si \ a<a^, \\ a-a^,\ si \ a>a^, \end{matrix}\right.\).
Cependant cela n'a pas de conséquence pour la suite, car tu as besoin de AA'²=(a-a')².

Pour la 2ème partie, il faut commencer par rechercher les coordonnées du point d'intersection B des deux droites en fonction des coefficients a, a', b, b'.
Ensuite, dans le cas où b est différent de b', on choisit Les point A de D et A' de D' d'abscisse 0 (et non 1).
On calcule alors BA, puis BA' puis AA ...

SoSMath.
Mathieu

Re: Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé

Message par Mathieu » dim. 4 mai 2014 08:41

Merci pour votre aide.
Je suis toujours coincé pourtant... J'ai essayé de trouver le point d'intersection en posant : ax+b=a'x+b' mais je n'arrive pas à simplifier et donc à avancer....
Merci.
SoS-Math(9)
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Re: Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé

Message par SoS-Math(9) » dim. 4 mai 2014 09:38

Bonjour Mathieu,

Voici un peu d'aide pour le point d'intersection :
B est le point d'intersection de D0 et D1, donc on a yB = axB + b et yB = a'xB + b'.
En résolvant ce système, on obtient \(x_B = \frac{b-b^,}{a^,-a}\) et \(y_B = \frac{a^,b-ab^,}{a^,-a}\).
Ensuite, le point A de D0 d'abscisse 0 a pour coordonnées A(0;b) et le point A' de D1 d'abscisse 0 a pour coordonnées A'(0;b').

Bonne continuation.
SoSMath.
Abdourahman

Re: Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé

Message par Abdourahman » dim. 18 oct. 2020 12:42

Est ce que les deux droite ci sont perpendiculaire :
Y=-2x+1 (Y2) et 3x-6y+1=0 (Y2)
sos-math(21)
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Re: Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé

Message par sos-math(21) » lun. 19 oct. 2020 16:10

Bonjour,
sur ce forum, la politesse est de rigueur : un message commence par "bonjour" et se termine par "merci" et/ou "au revoir".
Je vous invite donc à y penser lors de votre prochain message.
Pour répondre à votre question, vous avez plusieurs possibilités mais qui ne relèvent pas du niveau de seconde car l'orthogonalité de deux droites n'est pas au programme de seconde.
Il existe une propriété qui dit que deux droites d'équations réduites respectives \(y=mx+p\) et \(y=m'x+p'\) sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs \(mm'\) est égal à \(-1\).
On peut aussi calculer des vecteurs directeurs de ces deux droites et vérifier leur orthogonalité avec le produit scalaire.
Si on n'a pas le droit d'utiliser tout cela, il faut déterminer l'éventuel point d'intersection \(A\) de ces deux droites, choisir ensuite un autre point \(B\) de la première droite (distinct de \(A\)), un autre point \(C\) de la deuxième droite (distinct de \(A\)) puis montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), en s'appuyant sur l'identité de Pythagore.
Bonne continuation
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