Exercice

[Paul]

Bonjour, pourriez-vous me dire si la solution que j'ai apportée au problème ci-dessous est correcte ? En vous remerciant.

On définit \(D_{0} := \left\{f \in \mathbf{D}(\mathbb{R},\mathbb{R}), f'(0) = 0\right\}\). Quelle est l'intersection entre \(D_{0}\) et \(\mathbb{R}_{2}[X],\mathbb{R}_{1}[X],\mathbb{R}_{0}[X]\) ?

En premier lieu \(\mathbb{R}_{2}[X] := \left\{a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R} | f(x) = a_{1}x^2 + a_{2}x + a_{3} \right\}\). Dès lors on peut remarque que \(\mathbb{R}_{0}[X] \subseteq \mathbb{R}_{1}[X] \subseteq \mathbb{R}_{2}[X]\) (1). Pour être le plus général possible, on prend la fonction f que l'on a définie précédemment, tout d'abord \(f \in \mathbb{\mathbf{D}(\mathbb{R},\mathbb{R})}\), ensuite \(f'(x) = 2a_{1}x + a_{2}\), soit alors \(f'(0) = 0 \iff a_{2} = 0\), finallement de (1), il vient \(D_{0} \cap \mathbb{R}_{2}[X] = D_{0} \cap \mathbb{R}_{1}[X] = D_{0} \cap \mathbb{R}_{0}[X] = \left\{0 \right\}\)

[sos-math(21)]

Bonjour,
je ne suis pas sûr que cet exercice soit du niveau seconde.
Je ne suis pas d'accord avec ton raisonnement. En effet, toute fonction constante vérifie \(f'(0)=0\) donc appartient à \(D_0\). Ainsi \(\mathbb{R}_0[X]\subset D_0\) et \(D_0\cap\mathbb{R}_0[X]=\mathbb{R}_0[X]\).
Je t'invite à reprendre les autres intersections qui me semblent erronées.
Bonne continuation

[Paul]

Bonjour,
Effectivement, donc si l'on dit que si \( f\in \mathbb{R}_{0}[X]\) alors \(f'(0) = 0\), pour n'importe quel réel, donc \(\mathbb{R}_{0}[X] \cap D_{0} = \mathbb{R}_{0}[X]\), que de la même manière pour \(f \in \mathbb{R}_{1}[X]\), on a \(f'(x) = a\), en particulier \(f'(0) = 0\) si \(a = 0\), donc l'intersection est décrite par l'ensemble des fonctions constantes \(i.e\), \(\mathbb{R}_{1}[X] \cap D_{0} = \mathbb{R}_{0}[X]\), enfin pour \(\mathbb{R}_{2}[X]\), \(f'(x) = 2ax + b\) et \(f'(0) = b\), \(f'(0) = 0\) si \(b=0\), donc à nouveau \(\mathbb{R}_{2}[X] \cap D_{0} = \mathbb{R}_{0}[X]\)

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui pour \(\mathbb{R}_1[X]\cap D_0=\mathbb{R}_0[X]\) mais pas d'accord pour l'intersection avec \(\mathbb{R}_2[X]\) : si tu prends par exemple la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2+5\), alors \(f\in\mathbb{R}_2[X]\) et \(f'(x)=2x\) donc \(f'(0)=0\). Ainsi, \(f\in\mathbb{R}_2[X]\cap D_0\) et \(f\) n'est pas constante.
Reprends cette dernière intersection.

[Paul]

Du coup pour la dernière intersection si l'on dit que \(f'(x) = 2ax + b\), si \(b = 0\), pour n'importe quelle valeur de \(a\), \(f'(0) = 0\), mais si \(b \neq 0\) et éventuellement \(a = 0\) l'égalité n'est plus vraie pour n'importe quel \(x\), ainsi il faut que \(f'(x) = 2ax\) donc \(\mathbb{R}_{2}[X] \cap D_{0} = \left\{a,b\in \mathbb{R} | f(x) = ax^2 + b \right\}\)

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui, c'est cela, il faut juste revoir la conclusion : l'ensemble cherché est l'ensemble des polynômes de degré 2 définis pour tout \(x\in\mathbb{R}\) par \(f(x)=ax^2+b\), \(a,b\in\mathbb{R}\). Dans ta conclusion, tu définissait ta solution par les réels \(a\) et \(b\) alors que c'est le polynôme qui est solution.
Si tu veux écrire cela sous forme ensembliste, il faudrait écrire : \(\left\lbrace f\in\mathbb{R}_2[X], \exists\, (a,b)\in\mathbb{R}^2, \forall x\in\mathbb{R},\, f(x)=ax^2+b\right\rbrace\)
Bonne continuation

[Wlk23]

Thanks