conjecture Erdos

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Léa seconde

conjecture Erdos

Message par Léa seconde » sam. 25 sept. 2021 15:11

Bonjour,

Pourriez vous m'aider pour la quest° 2 svp ?
C'est à la p. 8 du lien : https://fr.calameo.com/read/0048229539dbdb2b8fbdf
C'est la conjecture d'Erdos.
Merci bcp. Bonne WE
sos-math(21)
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Re: conjecture Erdos

Message par sos-math(21) » sam. 25 sept. 2021 15:39

Bonjour,
il faut donc que tu cherches des décompositions de fractions de la forme \(\dfrac{4}{n}\) sous la forme de somme de trois fractions unitaires.
Pour \(\dfrac{4}{5}\), tu peux regarder les "multiples" des fractions et regarder la décomposition en facteurs premiers du dénominateur.
Par exemple : \( \dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{8}{5\times 2}\), il s'agit ensuite de voir si le numérateur s'écrit comme la somme de 3 nombres choisis parmi les diviseurs stricts du dénominateur auquel on rajoute 1. Car en choisissant ces facteurs, et en redécoupant en 3 fractions, il y aura des simplifications et on aura des fractions unitaires.
\(\dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{8}{2\times 5}=\dfrac{1+2+5}{2\times 5}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{2\times 5}+\dfrac{5}{2\times 5}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{2}\)
Pour \(\dfrac{4}{6}=\dfrac{1+1+2}{2\times 3}=\ldots\)
Pour \(\dfrac{4}{7}=\dfrac{8}{14}\), 8 ne s'écrit pas comme la somme de 3 nombres pris parmi (1,2,7).
On essaie alors \(\dfrac{4}{7}=\dfrac{12}{21}\) : 12 ne s'écrit pas comme la somme de 3 nombres pris parmi (1,3,7).
On essaie alors \(\dfrac{4}{7}=\dfrac{16}{28}\) : 16 s'écrit comme la somme de 3 nombres pris parmi (1,2,4,7,14) : 16=1+1+14 donc \(\dfrac{4}{7}=\dfrac{1}{28}+\dfrac{1}{28}+\dfrac{14}{28}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{28}+\dfrac{1}{28}\).
Je te laisse poursuivre
Bonne continuation
Léa seconde

Re: conjecture Erdos

Message par Léa seconde » sam. 25 sept. 2021 15:48

Merci pour votre réponse.

En revanche votre mess est quasiment rempli que de "\(\dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{8}{2\times 5}=\dfrac{1+2+5}{2\times 5}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{2\times 5}+\dfrac{5}{2\times 5}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{2}\)".

Pouvez vous y faire qqchose svp ? c'est difficile de comprendre sinon.

Merci bcp
sos-math(21)
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Re: conjecture Erdos

Message par sos-math(21) » sam. 25 sept. 2021 16:09

Bonjour,
c'est le convertisseur de formule de maths qui ne fonctionne pas :
je te le redonne en image :
erdos.PNG
Désolé,
Bonne continuation
Léa seconde

Re: conjecture Erdos

Message par Léa seconde » sam. 25 sept. 2021 16:19

Merci.

Faut-il prendre 8/18 pour 4/9 ? Je n'arrive pas à savoir.....
Merci.
Léa seconde

Re: conjecture Erdos

Message par Léa seconde » sam. 25 sept. 2021 16:20

Merci.

Faut-il prendre 8/18 pour 4/9 ? Je n'arrive pas à savoir.....
Merci.
sos-math(21)
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Re: conjecture Erdos

Message par sos-math(21) » sam. 25 sept. 2021 16:24

Bonjour,
avec 4/9 tu as seulement 3 comme diviseur strict, donc il faudrait écrire 4 comme la somme de 3 nombres choisis parmi (1,3).
Alors que si tu écris 8/18, tu as comme liste de choix (1,2,3,6,9) donc tu dois pouvoir faire 8 avec trois termes de cette liste (je vois au moins deux possibilités..)
Bonne continuation
Léa seconde

Re: conjecture Erdos

Message par Léa seconde » sam. 25 sept. 2021 16:33

Merci, j'ai réussi pour celui la.



Pour 4/11 je sais qu'il faut utiliser 12/33 (car 33 a comme diviseurs 11 et 1, qui fait 12). mais je n'arrive pas ensuote à avoir des fractions avec comme numérateur 1...
sos-math(21)
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Re: conjecture Erdos

Message par sos-math(21) » sam. 25 sept. 2021 16:38

Bonjour,
pour 4/11, avec 12/33, tu n'auras pas de décomposition avec 3 termes, il faut aller chercher 16/44 avec 16 à écrire comme somme de 3 nombres pris parmi (1,2,4,11,22) : tu dois pouvoir trouver cela.
Bonne continuation
Léa seconde

Re: conjecture Erdos

Message par Léa seconde » sam. 25 sept. 2021 16:45

Merci. C'est bon pour celui ci.

Pour 4/12 puis je prendre 8/24 (car 8=4+3+1) ?
sos-math(21)
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Re: conjecture Erdos

Message par sos-math(21) » sam. 25 sept. 2021 16:49

Bonjour,
Oui cela fonctionne, car 4/12=8/24= 4/24+3/24+1/24=1/6+1/8+1/24, mais tu aurais pu trouver aussi directement avec 4/12 car 12 possède assez de diviseurs : (1,2,3,4,6) et 4=1+1+2 donc 4/12=1/12+1/12+2/12=1/12+1/12+1/6.
Bonne continuation
Léa seconde

Re: conjecture Erdos

Message par Léa seconde » sam. 25 sept. 2021 17:03

Merci beaucoup, j'ai pu finir l'exercice grace a vous.

Bonne fin de journée
sos-math(21)
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Re: conjecture Erdos

Message par sos-math(21) » sam. 25 sept. 2021 17:03

Tant mieux si cela t'a aidé à comprendre et terminer ton exercice.
Je verrouille donc le sujet
À bientôt sur sos-math
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