trigo

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caroline

trigo

Message par caroline » jeu. 24 mars 2022 17:19

Bonjou r
je ne comprends par cet relation :
pour tout angle aigu alpha d'un triangle rectangle, on a la relation :
cos²alpha+sin²alpha=1

Merci
sos-math(21)
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Re: trigo

Message par sos-math(21) » jeu. 24 mars 2022 17:34

Bonjour,
si tu écris la relation de Pythagore dans le triangle rectangle \(ABC\) rectangle en \(A\), tu as :
\(AB^2+AC^2=BC^2\), en divisant les deux membres par \(BC^2\), tu as :
\(\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}=\dfrac{BC^2}{BC^2}\) donc en séparant en deux fractions :
\(\dfrac{AB^2}{BC^2}+\dfrac{AC^2}{BC^2}=1\) donc on a \(\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2+\left(\dfrac{AC}{BC}\right)^2=1\).
Or \(\dfrac{AB}{BC}\) est le cosinus de l'angle aigu \(\widehat{ABC}\) et \(\dfrac{Ac}{BC}\) est son sinus.
On a donc \(\left(\cos(\widehat{ABC})\right)^2+\left(\sin(\widehat{ABC})\right)^2=1\), ce qui se généralise à tout angle aigu de mesure \(\alpha\) d'un triangle rectangle.
Cette relation est utile lorsque tu connais le cosinus d'un angle et que tu veux retrouver son sinus (ou l'inverse).
Par exemple, si tu sais que \(\cos(\alpha)=0,4\), alors \(\left(\sin(\alpha)\right)^2=1-\left(\sin(\alpha)\right)^2=1-0,4^2=0,84\) donc \(\sin(\alpha)=\sqrt{0,84}\approx 0,91\).
Bonne continuation
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