Géométrie dans l'espace

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eleve16
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Géométrie dans l'espace

Message par eleve16 » jeu. 21 févr. 2013 17:07

Bonjour,
J'ai un exercice à faire et je ne le comprends pas:
(c'est l'exercice n° 35 p 206 du manuel Sésamath 3ème)

On assimile la Terre à une boule de centre 0 et de rayon 6378 km. La ville de Madrid est située sur le parallèle de latitude 40° Nord. H est le centre du cercle correspondant à ce parallèle.

Voici un lien qui permet d'accéder au manuel en ligne pour voir l'illustration.

http://mep-outils.sesamath.net/manuel_n ... 68&ordre=1


a) Quelle est la longuer HM ? Justifie.
b) Calcule la longueur du parallèle de Madrid.
c) La longitude de Marid est 3° Ouest.
Recherche les coordonnée géographiques d'une ville de même latitude que Madrid. Calcule alors la distance séparant ces deux villes sur le parallèle, sachant que la longueur d'un arc de cercle est proporstionnelle à l'angle au centre.

Ce que je ne comprends pas:

a) Comment peut-on calculer cette longueur? Faut-il utiliser la réduction? Dans ce cas, faut-il utiliser 40° comme coefficient de réduction?

b) Il faut calculer le périmètre du cercle de centre H, en se servant du résultat obtenu précédement. C'est ça?

c) Il faut donc trouver une ville de même latitude que Madrid. Mais après, je ne comprends pas comment on peut calculer un arc de cercle.


Voilà, mlerci d'avance
sos-math(21)
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Re: Géométrie dans l'espace

Message par sos-math(21) » jeu. 21 févr. 2013 22:15

Bonsoir,
C'est une histoire de trigonométrie :
le triangle OHM est un triangle rectangle en O, on connait l'hypoténuse OM=R=6378 km.
On connait l'angle \(\widehat{HOM}=90-40=50\), on veut HM côté opposé à cet angle et on connait l'hypoténuse, on pense au sinus...
Une fois que tu as HM, c'est le rayon du cercle qui forme le parallèle, donc il reste à calculer avec la formule du périmètre d'un cercle.
Pour une ville à même latitude, tu calcules l'angle au centre à partir de H en faisant la différence entre ces deux longitudes :
Par exemple New York, représentée par un point Y est à la même latitude que Madrid (donc sur le même parallèle) mais à une longitude de 74° ouest, il y a donc 74-3 degrés d'écart :\(\widehat{MHY}=74-3=71\)
Ensuite, c'est de la proportionnalité, la distance \(d\) entre ces deux villes est proportionnelle à l'angle au centre \(\widehat{MHY}\) sur le cercle de rayon HM calculé auparavant, autrement dit c'est un produit en croix :
\(\begin{tabular}{|l|c|c|}\hline angle&71&360\\\hline longueur \,de\, l\, arc \,de\, cercle&d&2\times \pi\times HM\\\hline\end{tabular}\)
Je te laisse terminer et je t'envoie un fichier pour t'aider à comprendre mes propos.
latitude_bis.png
eleve16
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Re: Géométrie dans l'espace

Message par eleve16 » ven. 22 févr. 2013 10:12

Bonjour,

Je crois que j'ai compris, donc je dois faire:

a) On sait que le plan de centre H ne passe pas par le centre de la sphère, or lorsqu'un plan ne passe pas par le centre de la sphère, la droite qui passe par le centre de la sphère et le centre du plan est perpendiculaire au plan de section, donc la droite (OH) est perpendiculaire au plan de sectin donc (OH) et (MH) sont perpendiculaires.
eleve16
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Re: Géométrie dans l'espace

Message par eleve16 » ven. 22 févr. 2013 10:32

Bonjour,

Excusez-moi, mon précédent message est parti sans que j'ai fini de le rédiger, je reprends:

a) On sait que le plan de centre H ne passe pas par le centre de la sphère, or lorsqu'un plan ne passe pas par le centre de la sphère, la droite qui passe par le centre de la sphère et le centre du plan est perpendiculaire au plan de section, donc la droite (OH) est perpendiculaire au plan de section donc (OH) et (MH) sont perpendiculaires.

On connaît donc l'angle HOM = 90-40 = 50°.

On a donc MOH un triangle rectangle en H, donc on peut utiliser le sinus:

sin(HOM) = HM/OM
sin(50) = HM/ 6378 d'où

HM = sin(50) x 6378
= 4885, 83 km (environ)

J'ai aussi utilisé directement le cosinus, avec l'angle OMH. Est-ce juste? Je trouve le même résultat.

b) Calculer la longueur du parallèle de Madrid revient à calculer le périmètre du cercle de centre H:

P= pi x rayon²
= pi ( cos(4° x 6378)²
= 74994054,77 km

La longueur du périmètre de Madrid est d'environ 74994054,77 km.

c) New York est situé à la même latitude que Madrid, donc sur le même parallèle, mais à une longitude de 74°Ouest. On situe New-York par un point Y.
74° -3° = 71° Il y a 71° d'écart: MHY= 71°

On sait que la distance entre ces deux villes est proportionelle à l'angle au centre MHY sur le cercle de rayon H.

Angle 71 360
Longueur de l'arc de cercle d 2 x pi x HM


Donc d= 71 x2xpixHM / 360
= 71 x 2 x pi x cos(40) x 6378 / 360
= 5969,2 hm

La distance entre New York et Madrid est de environ 5969,2 k m.

Voilà, est-e que c'est ça?
Exusez moi pour les fautes de frappes, mais quand le texte atteint une certaine longueur, c'est plus difficile de ta^per, et je n'ai pas la topuche "pi" sur mon ordinateur.
Merci de votre aide.
sos-math(21)
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Re: Géométrie dans l'espace

Message par sos-math(21) » sam. 23 févr. 2013 10:53

Bonjour,
utiliser le sinus d'un angle ou le cosinus de l'autre aigu n'a aucune importance : les deux sont corrects.
Tes calculs sont corrects.
En revanche, ton calcul de longueur de parallèle est faux : tu as utilisé la formule de l'aire d'un disque \(\pi\times R^2\)au lieu de la formule donnant le périmètre d'un cercle \(2\times \pi\times R\).
Pour la fin, l'utilisation du tableau de proportionnalité est correcte mais je trouve 6054 km avec tes calculs. En tout cas, tu as bien travaillé.
Bon courage pour la suite
eleve16
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Re: Géométrie dans l'espace

Message par eleve16 » dim. 24 févr. 2013 10:11

Bonjour,

Je me suis bien trompée de formule, donc je recommence pour le préimètre:

P= 2 x pi x rayon
= 2 x pi x cos(40) x 6378
= 30698, 58

La longueur du périmètre de Madrid est d'environ 30698, 58 km.

J'ai recalculé pour la dernière question et je trouve moi aussi 6054,44 km.

Merci de votre aide.
sos-math(21)
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Re: Géométrie dans l'espace

Message par sos-math(21) » dim. 24 févr. 2013 12:21

Bonjour,
Tes calculs sont corrects et correspondent au périmètre du parallèle passant par Madrid (et pas le périmètre de Madrid comme tu le dis).
Pour le reste, on est d'accord.
Bon courage pour la suite
jo14

Re: Géométrie dans l'espace

Message par jo14 » lun. 3 mars 2014 20:18

Bonsoir,
Je suis également en train de faire cet exercice pour la rentrée et je n'est pas très bien compris votre raisonnement pour la question c). Pourquoi avez vous trouvé 74 pour la longitude ??
Merci d'avance.
sos-math(21)
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Re: Géométrie dans l'espace

Message par sos-math(21) » mar. 4 mars 2014 08:09

Bonjour,
On demande de trouver une ville située sur le même parallèle que Madrid.
Moi, j'avais trouvé New York, et sa longitude est 74° ouest : je n'ai rien inventé.
Tu peux en trouver d'autres en cherchant sur Internet.
Bon courage
jo14

Re: Géométrie dans l'espace

Message par jo14 » mar. 4 mars 2014 15:01

Bonjour,
merci pour votre réponse mais je ne comprend pas la deuxième partie de la question c). Pour trouvé la distance qui les sépares je trouve le calcul 74+3=77
Pouvez vous m'expliquer s'il vous plaît.
Merci
sos-math(21)
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Re: Géométrie dans l'espace

Message par sos-math(21) » mar. 4 mars 2014 17:58

Non, c'est le contraire,
Si on note le point D le point du méridien origine sur le même parallèle que M et Y. On a par définition de la longitude : \(\widehat{DHM}=3^{\circ}\) et \(\widehat{DHY}=74^{\circ}\) donc \(\widehat{MHY}=71^{\circ}\).
Il te reste ensuite à faire de la proportionnalité : à un angle au centre de mesure 71° correspond un arc de cercle de longueur ....
Bons calculs.
latitude.png
jo14

Re: Géométrie dans l'espace

Message par jo14 » mer. 5 mars 2014 18:41

Ah d'accord merci beaucoup !!
Si ça vous ennuie pas je ne compred pas la question a) d'un autre exerccie. Je sais qu'il faut utiliser le théorème de Thales mais il me manque un longueur pour trouver AC.
Merci d'avance !
Fichiers joints
1394044994446.jpg
SoS-Math(11)
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Re: Géométrie dans l'espace

Message par SoS-Math(11) » mer. 5 mars 2014 19:22

Bonsoir,

Pour la question 1)
Tu peux utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles : ACH et ABH car tu connais deux des trois côtés de ces triangles.

Pour la question 2) c'est la réciproque du théorème de ¨Pythagore

Pour la question 3) c'est le théorème de Thalès.

Bon courage
jo14

Re: Géométrie dans l'espace

Message par jo14 » mer. 5 mars 2014 20:19

D'accord, merci beaucoup pour votre aide !!!
Désolé de vous déranger encore une foi mais je ne compred pas pourquoi il faut mettre cos (40) dans la question c) de l'exercice précédent...
Merci
SoS-Math(11)
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Re: Géométrie dans l'espace

Message par SoS-Math(11) » mer. 5 mars 2014 20:47

Tu as un triangle rectangle dont tu connais l'hypoténuse (rayon de la terre) et tu cherches le "petit" rayon du parallèle de 40° nord qui est le côté adjacent.

Bon courage