géométrie

[Jeanne]

Bonjour, voici le sujet de mon exercice : ABDC est un quadrilatère tel que BAC et BDC sont des triangles rectangles respectivement en A et D.
1) Placer I, le milieu de la diagonale [BC] et J, celui de la diagonale [AD].
2) Montrer que les points A,B,C et D sont sur un même cercle dont on déterminera son centre et son rayon.
3) En déduire que I est équidistant des points A et D.
4) Conclure que la droite (IJ) est perpendiculaire à la diagonale [AD].

Je vous remercie de bien vouloir m'aider (je suis de niveau moyen en mathématiques et j'ai du mal pour la rédaction).
Je pense qu'il s'agit d'une question d'angle droit opposés pour que les points soient situés sur un même cercle.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Jeanne,

Il faut commencer par faire une figure. Ensuite, que peux-tu dire du triangle ABC ? Connais-tu une propriété qui parle de cercles et de triangles ?

A bientôt !

[Jeanne]

Bonjour,
Oui bien sûr ! Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse.
Les triangle BAC et BDC sont rectangles respectivement en A et D, donc ils sont inscrits dans le cercle de diamètre [BC].
Les points A, B, D et C appartiennent au cercle de diamètre [BC].

On sait que I est le milieu de [BC] donc I est le centre du cercle de rayon {BC].

Est-ce bien cela ? Par contre je cale pour le reste.
Merci

[SoS-Math(30)]

Bonjour Jeanne,

Ok pour la question 2, on sait alors que A, B, C et D sont sur le cercle de centre I et de rayon IB (par exemple).
Pour la question 3, sais-tu ce que signifie équidistants ? Si non, regarde dans le dictionnaire. Pour montrer que A et D sont équidistants de I, tu peux utiliser ce que tu viens de montrer à la question 2 et la définition d'un cercle : que signifie le fait que A et D soient sur le même cercle de centre I ?

SoSMath

[Jeanne]

rebonjour et merci
Voici ce que je pense : Puisque tous les points d'un cercle sont équidistants du centre de ce cercle, alors les points A et D appartenant au cercle A,B,D,C sont équidistants de I, centre du cercle.
Est ce bien cela ?

[SoS-Math(30)]

C'est tout à fait cela !
Pour la question 4, il ne te reste plus qu'à te souvenir d'une propriété de sixième sur les points équidistants des extrémités d'un segment...

SoSMath

[Jeanne]

Rebonjour,
Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il est sur la médiatrice de ce segment.
Nous savons que :
- I est équidistant des points A et S.
- J est le milieu de [AD] donc équidistant des points A et D.
Les points I et J sont donc équidistants des extrémités du segment [AD] ; ils sont donc sur la médiatrice de ce segment.
(IJ) est donc perpendiculaire à la diagonale [AD].

Désolée si la rédaction n'est pas correcte (c'est mon point faible).

[SoS-Math(30)]

Très bien Jeanne (tu as juste mis S à la place de D).
Rien à redire.

SoSMath

[Jeanne]

Je vous remercie infiniment.
Bon week-end.

[SoS-Math(30)]

Pas de problème Jeanne.

A bientôt !