Symétrie

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François

Symétrie

Message par François » ven. 2 oct. 2020 08:01

Bonjour

J’aurais besoin de votre aide pour résoudre cet exercice.
https://mep-outils.sesamath.net/manuel_ ... 79&ordre=1

En fait, il faut montrer que RSTU est un rectangle. Pour cela, je sais qu’un parallélogramme ayant les diagonales de même longueur est un rectangle.
Ici, mon seul problème, c’est de montrer que les 2 diagonales de RSTU se coulent bien en I. Lorsque j’aurais démontré cela, il sera aisé de montrer que les diagonales sont de même longueur (puisque les sommets sont sur le cercle)

Merci pour votre aide.
sos-math(21)
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Re: Symétrie

Message par sos-math(21) » ven. 2 oct. 2020 08:52

Bonjour,
c'est une justification qui est délicate ici car on utilise une propriété peu fréquente de la symétrie :
Le symétrique de l'intersection d'une droite et d'un cercle est l'intersection du symétrique de la droite et du symétrique du cercle
le point I est le centre du parallélogramme la symétrie de centre I transforme (AB) et (CD). De plus I est le centre du cercle donc la symétrie de centre I transforme le cercle \(\mathscr{C}\) en lui-même.
Les points U et R sont les intersections de la droite (AB) avec le cercle \(\mathscr{C}\) donc leurs images par la symétrie de centre I seront les intersections de l'image de (AB) (donc (CD)) avec l'image du cercle \(\mathscr{C}\), qui est \(\mathscr{C}\) lui-même.
Les intersections de la droite (CD) avec le cercle \(\mathscr{C}\) étant les points S et T, on en conclut que la symétrie de centre I transforme U et R en S et T. I étant le milieu du segment formé par un point et son symétrique, on obtient que le symétrique de U est S et que le symétrique de R est T.
On en déduit alors le fait que I soit le milieu des deux diamètres [US] et [RT], donc que le quadrilatère RSTU ait ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui ont la même longueur. RSTU est donc un rectangle.
Bonne continuation
François

Re: Symétrie

Message par François » ven. 2 oct. 2020 09:12

Bonjour

Merci pour votre réponse. Je ne connaissais pas cette propriété, on la trouve rarement dans les manuels.

Merci à vous
sos-math(21)
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Re: Symétrie

Message par sos-math(21) » ven. 2 oct. 2020 09:27

Bonjour,
c'est ce qui rend cet exercice difficile : cette propriété est assez simple (une symétrie conserve les intersections), mais est rarement utilisée ou souvent utilisée de manière inconsciente.
La justification est assez simple :
Si on note \(A\) un point d'intersection d'une droite \((d)\) et d'un cercle \(\mathscr{C}\), cela signifie que \(A\) appartient à \((d)\) et que \(A\) appartient à \(\mathscr{C}\).
Alors :
- \(A\) appartient à \((d)\) donc son symétrique \(A'\) appartient au symétrique de \((d)\) ;
- \(A\) appartient à \(\mathscr{C}\) donc son symétrique \(A'\) appartient au symétrique de \(\mathscr{C}\).
Finalement \(A'\) appartient aux symétriques de \((d)\) et de \(\mathscr{C}\) donc il appartient à leur intersection.
Bonne continuation
François

Re: Symétrie

Message par François » ven. 2 oct. 2020 10:58

Effectivement, la propriété se comprend aisément.
Par contre, encore une petite question, désolé : vous parlez de justification pour expliquer cette propriété. On ne peux pas parler de démonstration ?

Merci encore.
sos-math(21)
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Re: Symétrie

Message par sos-math(21) » ven. 2 oct. 2020 14:30

Bonjour,
en effet, c'est plutôt une démonstration que j'ai faite, même si, initialement, je voulais simplement expliquer comment s'obtenait cette propriété.
Souvent, la frontière entre justification, explication, argumentation et explication est mince certaines personnes appellent justification ce que d'autres appelleront démonstration. L'acception du terme démonstration diffère d'un individu à l'autre, même chez les professeurs.
Bonne continuation
François

Re: Symétrie

Message par François » ven. 2 oct. 2020 14:41

Merci bonne fin de journée à vous.
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