Bonjour
J’aurais besoin de votre aide pour résoudre cet exercice.
https://mep-outils.sesamath.net/manuel_ ... 79&ordre=1
En fait, il faut montrer que RSTU est un rectangle. Pour cela, je sais qu’un parallélogramme ayant les diagonales de même longueur est un rectangle.
Ici, mon seul problème, c’est de montrer que les 2 diagonales de RSTU se coulent bien en I. Lorsque j’aurais démontré cela, il sera aisé de montrer que les diagonales sont de même longueur (puisque les sommets sont sur le cercle)
Merci pour votre aide.
Symétrie
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sos-math(21)
- Messages : 10282
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Symétrie
Bonjour,
c'est une justification qui est délicate ici car on utilise une propriété peu fréquente de la symétrie :
Les points U et R sont les intersections de la droite (AB) avec le cercle \(\mathscr{C}\) donc leurs images par la symétrie de centre I seront les intersections de l'image de (AB) (donc (CD)) avec l'image du cercle \(\mathscr{C}\), qui est \(\mathscr{C}\) lui-même.
Les intersections de la droite (CD) avec le cercle \(\mathscr{C}\) étant les points S et T, on en conclut que la symétrie de centre I transforme U et R en S et T. I étant le milieu du segment formé par un point et son symétrique, on obtient que le symétrique de U est S et que le symétrique de R est T.
On en déduit alors le fait que I soit le milieu des deux diamètres [US] et [RT], donc que le quadrilatère RSTU ait ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui ont la même longueur. RSTU est donc un rectangle.
Bonne continuation
c'est une justification qui est délicate ici car on utilise une propriété peu fréquente de la symétrie :
le point I est le centre du parallélogramme la symétrie de centre I transforme (AB) et (CD). De plus I est le centre du cercle donc la symétrie de centre I transforme le cercle \(\mathscr{C}\) en lui-même.Le symétrique de l'intersection d'une droite et d'un cercle est l'intersection du symétrique de la droite et du symétrique du cercle
Les points U et R sont les intersections de la droite (AB) avec le cercle \(\mathscr{C}\) donc leurs images par la symétrie de centre I seront les intersections de l'image de (AB) (donc (CD)) avec l'image du cercle \(\mathscr{C}\), qui est \(\mathscr{C}\) lui-même.
Les intersections de la droite (CD) avec le cercle \(\mathscr{C}\) étant les points S et T, on en conclut que la symétrie de centre I transforme U et R en S et T. I étant le milieu du segment formé par un point et son symétrique, on obtient que le symétrique de U est S et que le symétrique de R est T.
On en déduit alors le fait que I soit le milieu des deux diamètres [US] et [RT], donc que le quadrilatère RSTU ait ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui ont la même longueur. RSTU est donc un rectangle.
Bonne continuation
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François
Re: Symétrie
Bonjour
Merci pour votre réponse. Je ne connaissais pas cette propriété, on la trouve rarement dans les manuels.
Merci à vous
Merci pour votre réponse. Je ne connaissais pas cette propriété, on la trouve rarement dans les manuels.
Merci à vous
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sos-math(21)
- Messages : 10282
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Symétrie
Bonjour,
c'est ce qui rend cet exercice difficile : cette propriété est assez simple (une symétrie conserve les intersections), mais est rarement utilisée ou souvent utilisée de manière inconsciente.
La justification est assez simple :
Si on note \(A\) un point d'intersection d'une droite \((d)\) et d'un cercle \(\mathscr{C}\), cela signifie que \(A\) appartient à \((d)\) et que \(A\) appartient à \(\mathscr{C}\).
Alors :
- \(A\) appartient à \((d)\) donc son symétrique \(A'\) appartient au symétrique de \((d)\) ;
- \(A\) appartient à \(\mathscr{C}\) donc son symétrique \(A'\) appartient au symétrique de \(\mathscr{C}\).
Finalement \(A'\) appartient aux symétriques de \((d)\) et de \(\mathscr{C}\) donc il appartient à leur intersection.
Bonne continuation
c'est ce qui rend cet exercice difficile : cette propriété est assez simple (une symétrie conserve les intersections), mais est rarement utilisée ou souvent utilisée de manière inconsciente.
La justification est assez simple :
Si on note \(A\) un point d'intersection d'une droite \((d)\) et d'un cercle \(\mathscr{C}\), cela signifie que \(A\) appartient à \((d)\) et que \(A\) appartient à \(\mathscr{C}\).
Alors :
- \(A\) appartient à \((d)\) donc son symétrique \(A'\) appartient au symétrique de \((d)\) ;
- \(A\) appartient à \(\mathscr{C}\) donc son symétrique \(A'\) appartient au symétrique de \(\mathscr{C}\).
Finalement \(A'\) appartient aux symétriques de \((d)\) et de \(\mathscr{C}\) donc il appartient à leur intersection.
Bonne continuation
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François
Re: Symétrie
Effectivement, la propriété se comprend aisément.
Par contre, encore une petite question, désolé : vous parlez de justification pour expliquer cette propriété. On ne peux pas parler de démonstration ?
Merci encore.
Par contre, encore une petite question, désolé : vous parlez de justification pour expliquer cette propriété. On ne peux pas parler de démonstration ?
Merci encore.
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sos-math(21)
- Messages : 10282
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Symétrie
Bonjour,
en effet, c'est plutôt une démonstration que j'ai faite, même si, initialement, je voulais simplement expliquer comment s'obtenait cette propriété.
Souvent, la frontière entre justification, explication, argumentation et explication est mince certaines personnes appellent justification ce que d'autres appelleront démonstration. L'acception du terme démonstration diffère d'un individu à l'autre, même chez les professeurs.
Bonne continuation
en effet, c'est plutôt une démonstration que j'ai faite, même si, initialement, je voulais simplement expliquer comment s'obtenait cette propriété.
Souvent, la frontière entre justification, explication, argumentation et explication est mince certaines personnes appellent justification ce que d'autres appelleront démonstration. L'acception du terme démonstration diffère d'un individu à l'autre, même chez les professeurs.
Bonne continuation
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François
Re: Symétrie
Merci bonne fin de journée à vous.