par Pierre » dim. 10 mars 2024 13:12
Bonjour, dans un DM on doit construire \(\mathbb{C}\) par approche matriciel en définissant \(\[
f\colon\begin{aligned}[t]
\mathbf{M}&\longrightarrow \mathbb{C}\\
M_{a,b}&\longmapsto a+bi
\end{aligned}
\]
\), où \(M_{a,b} = \begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{pmatrix}\), et \(\mathbf{M}\) est l'ensemble des matrices \(M_{a,b}\). Il est demandé de montrer que \(f\) est une bijection. Pouvez-vous me dire si mes justifications sont correctes ?
Surjectivité : On pose \(I_{2} := \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\) et \(J := \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\). Dès lors on peut récupérer l'ensemble des matrices dans \(\mathbf{M}\) par \(M_{a,b} = aI_{2} + bJ\), par \(f\) on peut écrire : \( f(M_{a,b}) = f(aI_{2}+bJ) = f(aI_{2}) + f(bJ) = a+bi = z \in \mathbb{C} \) (on a déjà montré l'additivité de \(f\))
Injectivité :
\(
\begin{alignedat}{3}
\forall M,M' \in \mathbf{M},f(M_{a,b}) = f(M'_{a',b'}) \implies a+bi = a'+b'i\\
\implies \left \{
\begin{array}{rcl}
a&=&a' \\
b&=&b'
\end{array}
\right.\\
\implies M_{a,b} = M'_{a',b'}\\
\end{alignedat}
\)
Bonjour, dans un DM on doit construire [TeX]\mathbb{C}[/TeX] par approche matriciel en définissant [TeX]\[
f\colon\begin{aligned}[t]
\mathbf{M}&\longrightarrow \mathbb{C}\\
M_{a,b}&\longmapsto a+bi
\end{aligned}
\]
[/TeX], où [TeX]M_{a,b} = \begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{pmatrix}[/TeX], et [TeX]\mathbf{M}[/TeX] est l'ensemble des matrices [TeX]M_{a,b}[/TeX]. Il est demandé de montrer que [TeX]f[/TeX] est une bijection. Pouvez-vous me dire si mes justifications sont correctes ?
[u]Surjectivité[/u] : On pose [TeX]I_{2} := \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}[/TeX] et [TeX]J := \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}[/TeX]. Dès lors on peut récupérer l'ensemble des matrices dans [TeX]\mathbf{M}[/TeX] par [TeX]M_{a,b} = aI_{2} + bJ[/TeX], par [TeX]f[/TeX] on peut écrire : [TeX] f(M_{a,b}) = f(aI_{2}+bJ) = f(aI_{2}) + f(bJ) = a+bi = z \in \mathbb{C} [/TeX] (on a déjà montré l'additivité de [TeX]f[/TeX])
[u]Injectivité[/u] :
[TeX]
\begin{alignedat}{3}
\forall M,M' \in \mathbf{M},f(M_{a,b}) = f(M'_{a',b'}) \implies a+bi = a'+b'i\\
\implies \left \{
\begin{array}{rcl}
a&=&a' \\
b&=&b'
\end{array}
\right.\\
\implies M_{a,b} = M'_{a',b'}\\
\end{alignedat}
[/TeX]