par SoS-Math(33) » dim. 15 janv. 2023 10:24
Bonjour,
Initialisation :
pour \(n=0\) on a \(5n^3+n=0\) et \(6\) divise \(0\) donc vraie
Hérédité
On suppose que \(6\) divise \(5n^3+n\)
Pour \(n+1\) :
\(5(n+1)^3+n+1=5(n^3+3n^2+3n+1)+n+1 = 5n^3+15n^2+15n+5+n+1=(5n^3+n)+15n(n+1)+6\)
On a : \(n(n+1)\) est divisible par \(2\) donc \(15n(n+1)\) est divisible par \(30\) donc divisible par \(6 \) donc \(15n(n+1)=6a\)
Par hypothèse : \(6\) divise \(5n^3+n\) donc \(5n^3+n=6b\)
Donc \((5n^3+n)+15n(n+1)+6=6b+6a+6=6(a+b+1)\) donc \(6\) divise \(5(n+1)^3+n+1\)
Est-ce plus clair pour toi?
SoS-math
Bonjour,
Initialisation :
pour [TeX]n=0[/TeX] on a [TeX]5n^3+n=0[/TeX] et [TeX]6[/TeX] divise [TeX]0[/TeX] donc vraie
Hérédité
On suppose que [TeX]6[/TeX] divise [TeX]5n^3+n[/TeX]
Pour [TeX]n+1[/TeX] :
[TeX]5(n+1)^3+n+1=5(n^3+3n^2+3n+1)+n+1 = 5n^3+15n^2+15n+5+n+1=(5n^3+n)+15n(n+1)+6[/TeX]
On a : [TeX]n(n+1)[/TeX] est divisible par [TeX]2[/TeX] donc [TeX]15n(n+1)[/TeX] est divisible par [TeX]30[/TeX] donc divisible par [TeX]6 [/TeX] donc [TeX]15n(n+1)=6a[/TeX]
Par hypothèse : [TeX]6[/TeX] divise [TeX]5n^3+n[/TeX] donc [TeX]5n^3+n=6b[/TeX]
Donc [TeX](5n^3+n)+15n(n+1)+6=6b+6a+6=6(a+b+1)[/TeX] donc [TeX]6[/TeX] divise [TeX]5(n+1)^3+n+1[/TeX]
Est-ce plus clair pour toi?
SoS-math
