par sos-math(21) » mar. 6 juil. 2021 07:22
Bonjour,
si tu supposes que ton équation a deux solutions \(x_1\) et \(x_2\) entières (pas nécessairement distinctes), alors ton équation s'écrit \((x-x_1)(x-x_2)=0\), ce qui donne en développant \(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0\) donc en identifiant selon les puissances de \(x\), on a :
\(\left\lbrace\begin{array}{l}x_1+x_2=-a\\x_1x_2=b\end{array}\right.\)
ces deux conditions imposent que \(a\) et \(b\) doivent être entiers comme somme et produit de deux entiers.
Tu peux en déduire des informations sur les solutions vis-à-vis de \(a\) et \(b\).
Pour avoir une relation entre \(a\) et \(b\), il faut certainement repasser par le discriminant, comme tu l'as fait.
Si ta question était trouver une relation entre \(a\) et \(b\) pour que l'équation ait des solutions entières, alors ce que tu avais trouvé (en rajoutant le fait que \(a\) et \(b\) soient entiers, à partir de ce que je t'ai dit) est une réponse, mais je ne sais pas si cette réponse est assez approfondie.
Tu peux poursuivre le travail en disant alors qu'il existe un entier \(c\), tel que \(a^2-4b=c^2\) ce qui donne \(a^2-c^2=4b\) soit \((a+c)(a-c)=4b\) et tu peux en déduire des liens de divisibilité.
Bonne continuation
Bonjour,
si tu supposes que ton équation a deux solutions [TeX]x_1[/TeX] et \(x_2\) entières (pas nécessairement distinctes), alors ton équation s'écrit \((x-x_1)(x-x_2)=0\), ce qui donne en développant \(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0\) donc en identifiant selon les puissances de \(x\), on a :
\(\left\lbrace\begin{array}{l}x_1+x_2=-a\\x_1x_2=b\end{array}\right.\)
ces deux conditions imposent que \(a\) et \(b\) doivent être entiers comme somme et produit de deux entiers.
Tu peux en déduire des informations sur les solutions vis-à-vis de \(a\) et \(b\).
Pour avoir une relation entre \(a\) et \(b\), il faut certainement repasser par le discriminant, comme tu l'as fait.
Si ta question était [i]trouver une relation entre \(a\) et \(b\) pour que l'équation ait des solutions entières[/i], alors ce que tu avais trouvé (en rajoutant le fait que \(a\) et \(b\) soient entiers, à partir de ce que je t'ai dit) est une réponse, mais je ne sais pas si cette réponse est assez approfondie.
Tu peux poursuivre le travail en disant alors qu'il existe un entier \(c\), tel que \(a^2-4b=c^2\) ce qui donne \(a^2-c^2=4b\) soit \((a+c)(a-c)=4b\) et tu peux en déduire des liens de divisibilité.
Bonne continuation