Bonjour,
attention, ton raisonnement est faux :
d'après le théorème de Bezout on en déduit que comme il existe u et v tel que ua+vb=5 alors PGCD (a,b)=5
S'il existe deux entiers \(x\) et \(y\) tels que \(d = ax + by\) , on peut seulement dire que \(d\) est un multiple du PGCD.
En effet, si tu considère le contre-exemple suivant : il existe deux entiers \(x\) et \(y\) tels que \(3x + 4y = 7\) (il suffit de prendre \(x = 1\) et \(y = 1\)) alors que 7 n'est pas le PGCD de 3 et 4.
Je te propose le raisonnement suivant : soit \(d\) le pgcd de \(a\) et \(b\), alors \(d\) divise toute combinaison linéaire de \(a\) et \(b\), donc \(d\) divise \(2a-3b= -5\) (tu avais calculé 5 d'ailleurs), alors \(d\) divise \(-5\) donc on peut en conclure que \(d=1\) ou \(d=5\) : dans ton raisonnement, tu avais perdu \(d=1\)
Pour la 3, avec les congruences, ton équation est équivalente à \(3n\equiv 2[5]\) car le reste de la division de 7 par 5 est 2.
Ensuite, tu peux établir la table des restes modulo 5 :
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline n\equiv &0&1&2&3&3&4\\\hline 3n\equiv &&&&&\\\hline\end{array}\)
Cela te donnera les candidats possibles qui donnent un reste de 2 modulo 5 lorsqu'on en prend le triple.
Je te laisse regarder cela de plus près.