Bonjour,
dans l'article que je t'ai envoyé :
on a une preuve dans le cas général :
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA08094.pdf
Il te suffit de t'en inspirer en prenant \(k=8\) et de faire des sommes télescopiques.
En partant de \(a_0=0\), on a \(a_{n+1}=a_n+6n+1\), d'après ce que j'ai déjà dit.
On a donc pour tout entier \(n\) \(a_{n+1}-a_n=6n+1\), en écrivant ces inégalités en cascade :
au rang n-1 : \(a_n-a_{n-1}=6(n-1)+1\)
au rang n-2 : \(a_{n-1}-a_{n-2}=6(n-2)+1\)
...
au rang 1 : \(a_1-a_0=6\times 0 + 1\)
Tu fais la somme de ces inégalités, il y a des termes qui se simplifient deux à deux.
Je ne vois pas d'autre moyen simple pour le niveau première.
Bonne continuation