par sos-math(21) » sam. 6 nov. 2021 10:58
Bonjour,
il faut que tu te serves de la propriété précédente : \(u_{3n}\) est divisible par \(3u_n\).
En effet pour l'hérédité, si tu supposes que pour un certain rang \(n\) \(u_{3^n}\) est divisible par \(3^n\), alors \(u_{3^{n+1}}=u_{3\times 3^n}=u_{3N}\) donc \(u_{3^{n+1}}\) est divisible par \(3u_N=3u_{3^n}\).
Donc il existe un entier \(k\) tel que \(u_{3^{n+1}}=k\times 3\times u_{3^n}\) (*).
or par hypothèse de récurrence, \(u_{3^n}\) est divisible par \(3^n\) donc il existe \(k'\) entier tel que \(u_{3^n}=k'\times 3^{n}\), soit en remplaçant dans (*) :
\(u_{3^{n+1}}=k\times 3\times k'\times 3^{n}=kk'\times 3^{n+1}\), ce qui prouve que \(u_{3^{n+1}}\) est divisible par \(3^{n+1}\).
Et on a montré l'hérédité.
Est-ce plus clair ?
Bonjour,
il faut que tu te serves de la propriété précédente : \(u_{3n}\) est divisible par \(3u_n\).
En effet pour l'hérédité, si tu supposes que pour un certain rang \(n\) \(u_{3^n}\) est divisible par \(3^n\), alors \(u_{3^{n+1}}=u_{3\times 3^n}=u_{3N}\) donc \(u_{3^{n+1}}\) est divisible par \(3u_N=3u_{3^n}\).
Donc il existe un entier \(k\) tel que \(u_{3^{n+1}}=k\times 3\times u_{3^n}\) (*).
or par hypothèse de récurrence, \(u_{3^n}\) est divisible par \(3^n\) donc il existe \(k'\) entier tel que \(u_{3^n}=k'\times 3^{n}\), soit en remplaçant dans (*) :
\(u_{3^{n+1}}=k\times 3\times k'\times 3^{n}=kk'\times 3^{n+1}\), ce qui prouve que \(u_{3^{n+1}}\) est divisible par \(3^{n+1}\).
Et on a montré l'hérédité.
Est-ce plus clair ?
