par sos-math(21) » sam. 6 janv. 2024 21:31
Bonjour,
tu peux commencer par tester avec des valeurs données de \(n\) en traçant les courbes des fonctions à la calculatrice:
\(f_1(x)=x-(1-x)^2=-x^2+3x-1\) : cette fonction est strictement croissante sur \([0\,;\,1]\)
\(f_2(x)=x^2-(1-x)^2=2x-1\) : cette fonction est strictement croissante sur \([0\,;\,1]\)
\(f_3(x)=x^3-(1-x)^2=x^3 - x^2 + 2x - 1\) : cette fonction est strictement croissante sur \([0\,;\,1]\)
...
Maintenant que l'on est convaincu de cette monotonie, il s'agit de le démontrer.
Le calcul de la dérivée est une bonne idée mais il faut déjà le faire correctement : \(f_n'(x)=nx^{n-1}-2x+2\)
On ne connait pas la valeur de \(n\) donc il va être difficile d'établir le signe de cette dérivée de manière générale.
Il faut envisager autre chose : tu peux considérer que \(f_n\) est la somme de deux fonctions : \(g_n\) définie sur \([0\,;\,1]\) par \(g_n(x)=x^n\) et \(h\) définie sur \([0\,;\,1]\) par \(h(x)=-x^2+2x-1\). Essaie de déterminer le sens de variation de ces deux fonctions et conclus avec la propriété d'une somme de fonctions croissantes.
Pour la suite, ta fonction \(f_n\) est continue (à justifier), strictement croissante (il faut que tu le démontres) et \(f_n(0)=\ldots\) et \(f_n(1)=\ldots\) donc tu pourras appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
Bonne continuation
Bonjour,
tu peux commencer par tester avec des valeurs données de \(n\) en traçant les courbes des fonctions à la calculatrice:
\(f_1(x)=x-(1-x)^2=-x^2+3x-1\) : cette fonction est strictement croissante sur \([0\,;\,1]\)
\(f_2(x)=x^2-(1-x)^2=2x-1\) : cette fonction est strictement croissante sur \([0\,;\,1]\)
\(f_3(x)=x^3-(1-x)^2=x^3 - x^2 + 2x - 1\) : cette fonction est strictement croissante sur \([0\,;\,1]\)
...
Maintenant que l'on est convaincu de cette monotonie, il s'agit de le démontrer.
Le calcul de la dérivée est une bonne idée mais il faut déjà le faire correctement : \(f_n'(x)=nx^{n-1}-2x+2\)
On ne connait pas la valeur de \(n\) donc il va être difficile d'établir le signe de cette dérivée de manière générale.
Il faut envisager autre chose : tu peux considérer que \(f_n\) est la somme de deux fonctions : \(g_n\) définie sur \([0\,;\,1]\) par \(g_n(x)=x^n\) et \(h\) définie sur \([0\,;\,1]\) par \(h(x)=-x^2+2x-1\). Essaie de déterminer le sens de variation de ces deux fonctions et conclus avec la propriété d'une somme de fonctions croissantes.
Pour la suite, ta fonction \(f_n\) est continue (à justifier), strictement croissante (il faut que tu le démontres) et \(f_n(0)=\ldots\) et \(f_n(1)=\ldots\) donc tu pourras appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
Bonne continuation