par sos-math(21) » mar. 19 sept. 2023 20:10
Bonjour,
en fait n'importe quel décimal de la forme \(a,a_1a_2\ldots a_m\) (avec \(a_m>0\)) admet aussi un développement décimal illimité impropre de la forme :
\(a,a_1\ldots(a_m-1)999999\ldots\) Ces deux écritures définissent le même nombre réel car :
la partie décimale formée par des \(9\) peut s'écrire, entre le rang \(m+1\) et le rang \(n\) :
\(\dfrac{9}{10^{m+1}}+\dfrac{9}{10^{m+2}}+\ldots \dfrac{9}{10^n}=\dfrac{1}{10^{m}}-\dfrac{1}{10^n}\).
Donc, lorsqu'on poursuit cette suite de décimales égales à 9, cela revient à faire tendre \(n\) vers \(+\infty\).
Donc on a \(\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{9}{10^{m+1}}+\dfrac{9}{10^{m+2}}+\ldots \dfrac{9}{10^n}\right)=\dfrac{1}{10^m}\)
Donc on retrouve bien la décimale à rajouter au rang \(m\).
Par exemple \(0,1726\) et \(0,17259999999\ldots\) définissent un seul et même nombre.
Est-ce plus clair ? C'est une notion délicate et qui interroge de nombreux professeurs de mathématiques.
Bonne continuation
Bonjour,
en fait n'importe quel décimal de la forme \(a,a_1a_2\ldots a_m\) (avec \(a_m>0\)) admet aussi un développement décimal illimité impropre de la forme :
\(a,a_1\ldots(a_m-1)999999\ldots\) Ces deux écritures définissent le même nombre réel car :
la partie décimale formée par des \(9\) peut s'écrire, entre le rang \(m+1\) et le rang \(n\) :
\(\dfrac{9}{10^{m+1}}+\dfrac{9}{10^{m+2}}+\ldots \dfrac{9}{10^n}=\dfrac{1}{10^{m}}-\dfrac{1}{10^n}\).
Donc, lorsqu'on poursuit cette suite de décimales égales à 9, cela revient à faire tendre \(n\) vers \(+\infty\).
Donc on a \(\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{9}{10^{m+1}}+\dfrac{9}{10^{m+2}}+\ldots \dfrac{9}{10^n}\right)=\dfrac{1}{10^m}\)
Donc on retrouve bien la décimale à rajouter au rang \(m\).
Par exemple \(0,1726\) et \(0,17259999999\ldots\) définissent un seul et même nombre.
Est-ce plus clair ? C'est une notion délicate et qui interroge de nombreux professeurs de mathématiques.
Bonne continuation