par sos-math(21) » ven. 5 mai 2023 20:58
Bonjour,
la fonction inverse \(x\longmapsto \dfrac{1}{x}\) est une fonction décroissante sur tout intervalle \([n\,;\,n+1]\), avec \(n\in\mathbb{N}^*\).
Ainsi pour tout \(x\in[n\,;\,n+1]\), on a l'encadrement \(n\leqslant x\leqslant n+1\) puis en prenant les inverses des nombres dans cet encadrement, sachant que la fonction inverse est décroissante, cela renverse l'inégalité (\(a<b\) entraîne \(f(a)>f(b)\) :
ainsi \(\dfrac{1}{n+1}\leqslant \dfrac{1}{x}\leqslant \dfrac{1}{n}\) : on a bien obtenu l'encadrement demandé.
Puis en passant à l'intégrale entre \(n\) et \(n+1\), par croissance de l'intégrale, on a :
\(\displaystyle \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{n+1}\text{d}x\leqslant \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}\text{d}x\leqslant \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{n}\text{d}x\)
Il te restera à calculer les intégrales à gauche et à droite pour obtenir l'encadrement de \(I_n\).
Bonne continuation
Bonjour,
la fonction inverse \(x\longmapsto \dfrac{1}{x}\) est une fonction décroissante sur tout intervalle \([n\,;\,n+1]\), avec \(n\in\mathbb{N}^*\).
Ainsi pour tout \(x\in[n\,;\,n+1]\), on a l'encadrement \(n\leqslant x\leqslant n+1\) puis en prenant les inverses des nombres dans cet encadrement, sachant que la fonction inverse est décroissante, cela renverse l'inégalité (\(a<b\) entraîne \(f(a)>f(b)\) :
ainsi \(\dfrac{1}{n+1}\leqslant \dfrac{1}{x}\leqslant \dfrac{1}{n}\) : on a bien obtenu l'encadrement demandé.
Puis en passant à l'intégrale entre \(n\) et \(n+1\), par croissance de l'intégrale, on a :
\(\displaystyle \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{n+1}\text{d}x\leqslant \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}\text{d}x\leqslant \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{n}\text{d}x\)
Il te restera à calculer les intégrales à gauche et à droite pour obtenir l'encadrement de \(I_n\).
Bonne continuation