par sos-math(21) » ven. 20 janv. 2023 09:37
Bonjour,
ton problème est un problème d'optimisation sous contrainte utilisant le lagrangien.
On doit optimiser la fonction de profit énergétique \(f(L,E)=sE-vE\) où \(s\) est le taux de rendement énergétique et \(v\) le prix nominal de l'énergie, sous la contrainte que \(\bar{s}-s>0\), soit \((\bar{s}-s)E>0\) en considérant les charges énergétiques.
Avec la théorie des lagrangiens, cela revient à optimiser la fonction \(G(L,E,\lambda)=sE-vE+\lambda((\bar{s}-s)E)\) (je ne suis pas sûr de ma fonction...)
Sachant que \(sE=pq-wL\), on a \(G(L,E,\lambda)= pq-wL-vE+\lambda(\bar{s}E-pq+wL)\)
On calcule donc les dérivées partielles selon les trois variables, celles-ci doivent valoir 0, car on recherche un extremum.
On a donc
\(\left\lbrace\begin{array}{l}
\dfrac{\partial G}{\partial L}=0\,\Longleftrightarrow \,p\dfrac{\partial q}{\partial L}-w-\lambda p \dfrac{\partial q}{\partial L}+\color{red}{\lambda w}=0\,\Longleftrightarrow \,p\dfrac{\partial q}{\partial L}=w \,\text{voir explications plus bas : erreur de calcul corrigée }\\
\dfrac{\partial G}{\partial E}=0\,\Longleftrightarrow \,p\dfrac{\partial q}{\partial E}-v+\lambda\bar{s}-\lambda p\dfrac{\partial q}{\partial E}=0\\
\dfrac{\partial G}{\partial \lambda}=0\Longleftrightarrow\, \bar{s}=s\\
\end{array}\right.\)
la deuxième équation s'arrange un peu :
\(p\dfrac{\partial q}{\partial E}(1-\lambda)-v(1-\lambda)-\lambda v+\lambda\bar{s}=0\)
soit
\(p\dfrac{\partial q}{\partial E}(1-\lambda)-v(1-\lambda)+\lambda (\bar{s}-v)=0\)
soit en passant dans l'autre membre et en divisant par \((1-\lambda)\),
on a bien \(p\dfrac{\partial q}{\partial E}=v-\dfrac{\lambda}{1-\lambda}(\bar{s}-v)\)
Cela fonctionnerait presque si je n'avais pas un souci sur la première dérivée partielle : peut-être ai-je une erreur dans ma fonction à optimiser.correction détaillée en dessous
Je te laisse étudier cela, tu devrais au moins retrouver des éléments connus.
Bonne continuation
Bonjour,
ton problème est un problème d'optimisation sous contrainte utilisant le lagrangien.
On doit optimiser la fonction de profit énergétique \(f(L,E)=sE-vE\) où \(s\) est le taux de rendement énergétique et \(v\) le prix nominal de l'énergie, sous la contrainte que \(\bar{s}-s>0\), soit \((\bar{s}-s)E>0\) en considérant les charges énergétiques.
Avec la théorie des lagrangiens, cela revient à optimiser la fonction \(G(L,E,\lambda)=sE-vE+\lambda((\bar{s}-s)E)\) (je ne suis pas sûr de ma fonction...)
Sachant que \(sE=pq-wL\), on a \(G(L,E,\lambda)= pq-wL-vE+\lambda(\bar{s}E-pq+wL)\)
On calcule donc les dérivées partielles selon les trois variables, celles-ci doivent valoir 0, car on recherche un extremum.
On a donc
\(\left\lbrace\begin{array}{l}
\dfrac{\partial G}{\partial L}=0\,\Longleftrightarrow \,p\dfrac{\partial q}{\partial L}-w-\lambda p \dfrac{\partial q}{\partial L}+\color{red}{\lambda w}=0\,\Longleftrightarrow \,p\dfrac{\partial q}{\partial L}=w \,\text{voir explications plus bas : erreur de calcul corrigée }\\
\dfrac{\partial G}{\partial E}=0\,\Longleftrightarrow \,p\dfrac{\partial q}{\partial E}-v+\lambda\bar{s}-\lambda p\dfrac{\partial q}{\partial E}=0\\
\dfrac{\partial G}{\partial \lambda}=0\Longleftrightarrow\, \bar{s}=s\\
\end{array}\right.\)
la deuxième équation s'arrange un peu :
\(p\dfrac{\partial q}{\partial E}(1-\lambda)-v(1-\lambda)-\lambda v+\lambda\bar{s}=0\)
soit
\(p\dfrac{\partial q}{\partial E}(1-\lambda)-v(1-\lambda)+\lambda (\bar{s}-v)=0\)
soit en passant dans l'autre membre et en divisant par \((1-\lambda)\),
on a bien \(p\dfrac{\partial q}{\partial E}=v-\dfrac{\lambda}{1-\lambda}(\bar{s}-v)\)
Cela fonctionnerait presque si je n'avais pas un souci sur la première dérivée partielle : peut-être ai-je une erreur dans ma fonction à optimiser.[color=#FF0000]correction détaillée en dessous[/color]
Je te laisse étudier cela, tu devrais au moins retrouver des éléments connus.
Bonne continuation