par sos-math(21) » jeu. 15 déc. 2022 14:56
Bonjour,
si on reprend l'inéquation : \(51\left(1-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\right)\geqslant\dfrac{50000}{13402}\)
On divise par 51, on a \(1-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\geqslant\dfrac{25000}{341\,751}\)
En passant le 1 de l'autre côté on a :
\(-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\geqslant-\dfrac{316\,751}{341\,751}\)
Soit en multipliant par \(-1\) :
\(\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\leqslant\dfrac{316\,751}{341\,751}\)
Ensuite en passant à l'inverse dans les deux membres de l'inéquation sachant que la fonction inverse est décroissante du \(]0\,;\,+\infty[\) :
\(1,02^{n+1}\geqslant \dfrac{341\,751}{316\,751}\)
Puis en passant aux logarithmes dans les deux membres de l'inéquation, sachant que la fonction logarithme népérien est croissante du \(]0\,;\,+\infty[\) et que \(\ln(a^n)=n\ln(a)\) :
\((n+1)\ln(1,02)\geqslant \ln\left(\dfrac{341\,751}{316\,751}\right)\)
On a alors en divisant par \(\ln(1,02)\) et en soustrayant 1 :
\(n\geqslant \dfrac{\ln\left(\dfrac{341\,751}{316\,751}\right)}{\ln(1,02)}-1\)
soit \(n\geqslant 2,836\) donc \(n\geqslant 3\) car \(n\) est entier.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
Bonjour,
si on reprend l'inéquation : \(51\left(1-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\right)\geqslant\dfrac{50000}{13402}\)
On divise par 51, on a \(1-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\geqslant\dfrac{25000}{341\,751}\)
En passant le 1 de l'autre côté on a :
\(-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\geqslant-\dfrac{316\,751}{341\,751}\)
Soit en multipliant par \(-1\) :
\(\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\leqslant\dfrac{316\,751}{341\,751}\)
Ensuite en passant à l'inverse dans les deux membres de l'inéquation sachant que la fonction inverse est décroissante du \(]0\,;\,+\infty[\) :
\(1,02^{n+1}\geqslant \dfrac{341\,751}{316\,751}\)
Puis en passant aux logarithmes dans les deux membres de l'inéquation, sachant que la fonction logarithme népérien est croissante du \(]0\,;\,+\infty[\) et que \(\ln(a^n)=n\ln(a)\) :
\((n+1)\ln(1,02)\geqslant \ln\left(\dfrac{341\,751}{316\,751}\right)\)
On a alors en divisant par \(\ln(1,02)\) et en soustrayant 1 :
\(n\geqslant \dfrac{\ln\left(\dfrac{341\,751}{316\,751}\right)}{\ln(1,02)}-1\)
soit \(n\geqslant 2,836\) donc \(n\geqslant 3\) car \(n\) est entier.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation