Bonjour Tristan,

Oui, tu as trouvé ; c'est très bien !

Bonne continuation.

Re,

J’ai peut-être, dans l’excitation d’avoir trouvé, ne pas avoir été clair.

On a: 3b^2 congru à a^2 mod 5

Comme on le voit dans le tableau de congruence, 3x^2 congru a x^2 mod (5) pour x congru à 0 mod 5

Donc 3b^2 est congru à a^2 mod 5 uniquement pour b congru à 0 mod 5 et a congru a 0 mod 5

Or, si a et b sont congru a 0 mod5 , ils sont divisibles par 5, et donc ne sont pas premiers entre-eux!

Cela est donc absurde

Ah! Je crois que j’ai compris! :)

Si a et b sont tous deux divisibles par 5 (puisque leur reste vaut 0) ils ne sont pas premiers entre-eux! ( alors qu’une fraction doit être constituée de deux nombres a et b premier entre eux: la fraction est effet irréductible)

Cela est donc absurde , sqrt(3) n’est donc pas rationnel!

Est-ce cela?

Encore merci!!

Bonjour Tristan,

Tu y es presque... Le tableau ne dit pas que a=0 et b=0 mais que [TeX]a\equiv 0[/TeX] mod(5) et [TeX]b\equiv 0[/TeX] mod(5). Ceci signifie que [TeX]a[/TeX] et [TeX]b[/TeX] sont tous les deux divisibles par 5... Une "situation absurde" est proche mais pas celle que tu as annoncé !
Je te laisse reprendre et conclure.
Bonne continuation.

Et-bonjour.

J’ai donc suivi vos conseils:

On sait que 3b^2 est congru à a^2.

Or, d’après le tableau de congruence, 3b^2 et a^2 n’ont aucun reste en commun modulo 5 hormis pour a=0 et b=0

Or, b ne peut pas valoir 0 (division par 0 interdite)

C’est donc absurde!

Sqrt(3) n’est donc pas rationnel.

Est-ce correct? Merci!

Bonsoir Tristan,

Il y a une erreur dans ton raisonnement...
[quote]Or, 3≡3mod(5) donc [Tex]3b^2 \equiv 3 [/TeX]mod(5).[/quote] Cette implication est fausse. Prends [TeX]b=2[/TeX]
[TeX]3b^2=12[/TeX] et [TeX]12\equiv 2[/TeX] mod(5).

Reviens à [TeX] 3b^2=a^2[/TeX] donc [TeX]3b^2≡a^2mod(5)[/TeX]

Regarde les deux dernières lignes du tableau pour conclure !

Bonne continuation.

Bonjour à tous!

J'ai un exercice à rendre sur les congruences modulaires, où je dois prouver l'irrationalité de 3 par l'absurde avec un tableau de congruence modulo 5.

Voici le tableau: [attachment=0]tab congru.jpg[/attachment]

Il m'est demandé d'utiliser les deux dernières lignes pour montrer cette irrationalité de 3 par l'absurde

J'ai donc effectué ce raisonnement:

on suppose que sqrt(3) est rationnel donc [TeX]\sqrt(3)=a/b[/TeX]

[TeX]3=a^2/b^2[/TeX]
[TeX]3b^2=a^2[/TeX]

On sait que [TeX]3b^2=a^2[/TeX] donc [TeX]3b^2\equiv a^2 mod(5)[/TeX]

Or, [TeX]3\equiv 3 mod(5)[/TeX] donc 3b^2\equiv 3 mod(5)

et par transitivité: [TeX]a^2\equiv 3 mod(5)[/TeX]

On cherche donc dans le tableau de congruence un nombre x tel que: [TeX]3x^2\equiv 3 mod(5)[/TeX] et [TeX]x^2\equiv 3 mod(5)[/TeX]

Il n'y en a pas donc sqrt(3) est irrationel.

Est-ce correct? Car j'ai l'impression de survoler quelque chose...

Merci d'avance pour vos réponses!