par sos-math(21) » ven. 11 nov. 2022 20:31
Bonjour,
je te propose de démontrer par récurrence la propriété : \(\mathcal{P}_n\,: \, u_{n+1}>0\kern0.5cm \text{et}\kern0.5cm u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\)
- initialisation : je te laisse vérifier que \(\mathcal{P}_0\) est vraie
- hérédité : on suppose que pour un certain rang \(n\in\mathbb{N}\), \(\mathcal{P_n}\) est vraie.
On considère ensuite \(u_{n+1}^2=\left(\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n^2+1}}\right)^2=\dfrac{u_n^2}{u_n^2+1}\). On utilise alors la propriété \(\mathcal{P}_n\) donnant l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\). Je te laisse remplacer \(u_n\) par cette expression dans celle de \(u_{n+1}^2\) puis terminer le calcul en prenant la racine carrée (possible car on sait par hypothèse de récurrence que \(u_{n+1}>0\)). On devrait retrouver l'expression de \(u_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\). Il restera ensuite à prouver que \(u_{n+2}>0\) puis à conclure par le principe de récurrence.
Je te laisse travailler.
Bonne continuation
Bonjour,
je te propose de démontrer par récurrence la propriété : \(\mathcal{P}_n\,: \, u_{n+1}>0\kern0.5cm \text{et}\kern0.5cm u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\)
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[*] initialisation : je te laisse vérifier que \(\mathcal{P}_0\) est vraie
[*] hérédité : on suppose que pour un certain rang \(n\in\mathbb{N}\), \(\mathcal{P_n}\) est vraie.
On considère ensuite \(u_{n+1}^2=\left(\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n^2+1}}\right)^2=\dfrac{u_n^2}{u_n^2+1}\). On utilise alors la propriété \(\mathcal{P}_n\) donnant l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\). Je te laisse remplacer \(u_n\) par cette expression dans celle de \(u_{n+1}^2\) puis terminer le calcul en prenant la racine carrée (possible car on sait par hypothèse de récurrence que \(u_{n+1}>0\)). On devrait retrouver l'expression de \(u_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\). Il restera ensuite à prouver que \(u_{n+2}>0\) puis à conclure par le principe de récurrence.
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Je te laisse travailler.
Bonne continuation
