Bonjour,
est-ce que l'on parle de la même suite ?
Si on parle de la suite définie dans le sujet :
\(u_0=-3\) et \(u_{n+1}=\sqrt{3+\frac{u_{n}}2}\)
en prenant les termes de rang 1, tu as pour la suite définie dans le sujet : \(u_1=\sqrt{3+\frac{-3}2}=\sqrt{1,5}\approx 1,22\)
et pour l'autre dont tu parles (en supposant \(u_0=-3\) car tu ne nous dis rien sur le premier terme) : \(u_1=0,1u_0+0,2=-0,1\)
donc ces deux suites sont différentes.
Merci de préciser ton énoncé et nous créerons alors un nouveau sujet.
À bientôt

Bonjour Sylvain,
pour l'hérédité tu peux faire ceci :
[tex]0 \leq u_{n} \leq 2[/TeX]
[tex]0 \leq\dfrac{ u_{n}}{2} \leq 1[/TeX]
[tex]3\leq3+\dfrac{ u_{n}}{2} \leq 4[/TeX]
la fonction racine carrée étant continue et strictement croissante on obtient
[tex]\sqrt{3}\leq\sqrt{3+\dfrac{ u_{n}}{2}} \leq \sqrt{4}[/TeX]
d'où [TeX]0< 3 \leq u_{n+1} \leq 2[/TeX]

c'est plus rigoureux.
SoS-math

Bonjour,

Je vous donne ci-dessous l'énonce de l'exercice que j'ai tenté de résoudre mais je ne suis pas certain de correctement procéder car je trouve ma démonstration un peu bancale...

On considère la suite ([tex]u_{n}[/tex]) définie sur [tex]\mathbb {N}[/tex] par [TeX]u_{0}=-3[/TeX] et [TeX]u_{n+1}=\sqrt{3+\frac{u_{n}}2}[/TeX] pour tout [TeX]{n} \in \mathbb {N}[/TeX].

Démontrer que pour tout [tex]\mathbb {N^*}, 0 \leq u_{n} \leq 2[/TeX].

Par récurrence :

initialisation:
[tex]u_{1}=\sqrt{\frac 3 2}[/tex]
L'égalité à démontrer est donc vraie pour [TeX]{n}=1[/TeX].

Hérédité:
Soit [tex]{n} \in \mathbb {N^*}[/tex], supposons que [tex]0 \leq u_{n} \leq 2[/TeX] (HR) on a alors :
[TeX]u_{n+1}=\sqrt{3+\frac{u_{n}}2}[/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow[/TeX] [TeX]u_{n+1}=\sqrt{\frac{6 + u_{n}}2}[/TeX]
or [tex]0 \leq u_{n} \leq 2[/TeX] [TeX]\Leftrightarrow[/TeX] [tex]3 \leq \frac{6 + u_{n}} 2 \leq 4[/TeX]
Donc [TeX]0 \leq \sqrt{\frac{6 + u_{n}}2} \leq 2[/TeX]

Conclusion [TeX]\forall {n} \in \mathbb {N^*}, 0 \leq u_{n} \leq 2[/TeX]

par avance, merci.

Sylvain