Bonjour,
tes calculs sont corrects pour les deux premières questions.
Pour la récurrence, n'oublie pas que tu as une seule propriété \(P(n)\) qui se compose de deux égalités :
\(P(n)\,:\, u_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]\kern0.2cm \text{et} \kern0.2cm u_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]\)
Donc pour montrer que \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\), on procède bien par récurrence sur \(n\in\mathbb{N}\) :
- initialisation : pour vérifier \(P(0)\), il faut vérifier le calcul de \(u_0\) et de \(u_1\), tu te sers de ce que tu as fait à la question précédente donc tu dois vérifier avec les formules en remplaçan \(n\) par \(0\) que l'on retrouve bien \(u_0=0\) et \(u_1=1\) (déjà fait à la question 1).
- hérédité : tu te places à un rang \(n\in\mathbb{N}\) quelconque et tu supposes que \(P(n)\) est vraie. Il te faut montrer \(P(n+1)\). Comme la première égalité de \(P(n+1)\) correspond à la deuxième égalité de \(P(n)\), celle-ci est vérifiée par hypothèse sur \(P(n)\).
Il reste à démontrer la deuxième égalité de \(P(n+1)\), c'est-à-dire celle portant sur \(u_{n+2}\) : c'est là que tu utilises la relation de récurrence :
\(u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}=\underbrace{\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]}_{\text{2eme égalité de } P(n)}+\underbrace{\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]}_{\text{2eme égalité de } P(n)} \)
Ensuite tu factorises par \(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\) :
\(u_{n+2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}+\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right] \)
Il te reste à faire des factorisations partielles : par \(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\) et par \(\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\)
\(u_{n+2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+1\right)-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}+1\right)\right]\)
Ensuite il y a une petite ruse à utiliser : tes deux nombres \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) et \(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\) sont les deux solutions de l'équation \(x^2-x-1=0\), soit \(x+1=x^2\) donc \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+1=\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2\) et \(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}+1=\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2\)
Cela devrait te permettre de conclure.
Bonne continuations