par sos-math(21) » mar. 22 févr. 2022 08:22
Bonjour,
on te propose une récurrence sur \(n\geqslant 1\) donc il faut essayer de la mettre en œuvre :
On considère la propriété \(\mathcal{P}(n)\, :\, u_n\geqslant \ln(n+1)\)
- initialisation : au rang \(n=1\), on a \(U_1=1\) et \(\ln(1+1)=\ln(2)\approx 0,69\) donc on a bien \(U_1\geqslant \ln(1+1)\) donc \(\mathcal{P}(1)\) est vérifiée
- hérédité : on suppose que pour un rang \(n\geqslant 1\) donné, la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vérifiée et on veut montrer \(\mathcal{P}(n+1)\)
Tu as vu que pour tout entier naturel non nul \(n\), \(\dfrac{1}{n}\geqslant \ln(n+1)-\ln(n)\), donc au rang \(n+1\), cela donne \(\dfrac{1}{n+1}\geqslant \ln(n+2)-\ln(n+1)\) (on décale tout d'un cran)
Il reste ensuite à considérer \(U_{n+1}=\underbrace{1+\dfrac{1}{2}+\ldots+\dfrac{1}{n}}_{U_n}+\dfrac{1}{n+1}=U_n+\dfrac{1}{n+1}\)
Or par hypothèse de récurrence, \(U_n\geqslant \ln(n+1)\) et on a montré que \(\dfrac{1}{n+1}\geqslant \ln(n+2)-\ln(n+1)\) donc
\(U_n+\dfrac{1}{n+1}\geqslant \ln(n+1)+\ln(n+2)-\ln(n+1)\).
Les logarithmes se simplifient donc \(U_n+\dfrac{1}{n+1}\geqslant \ln(n+2)\) soit \(U_{n+1}\geqslant \ln(n+2)\), ce qui établit la propriété au rang \(n+1\) donc l'hérédité est prouvée
- D'après le principe de récurrence la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel non nul \(n\).
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
Bonjour,
on te propose une récurrence sur \(n\geqslant 1\) donc il faut essayer de la mettre en œuvre :
On considère la propriété \(\mathcal{P}(n)\, :\, u_n\geqslant \ln(n+1)\)
[list]
[*] initialisation : au rang \(n=1\), on a \(U_1=1\) et \(\ln(1+1)=\ln(2)\approx 0,69\) donc on a bien \(U_1\geqslant \ln(1+1)\) donc \(\mathcal{P}(1)\) est vérifiée
[*] hérédité : on suppose que pour un rang \(n\geqslant 1\) donné, la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vérifiée et on veut montrer \(\mathcal{P}(n+1)\)
Tu as vu que pour tout entier naturel non nul \(n\), \(\dfrac{1}{n}\geqslant \ln(n+1)-\ln(n)\), donc au rang \(n+1\), cela donne \(\dfrac{1}{n+1}\geqslant \ln(n+2)-\ln(n+1)\) (on décale tout d'un cran)
Il reste ensuite à considérer \(U_{n+1}=\underbrace{1+\dfrac{1}{2}+\ldots+\dfrac{1}{n}}_{U_n}+\dfrac{1}{n+1}=U_n+\dfrac{1}{n+1}\)
Or par hypothèse de récurrence, \(U_n\geqslant \ln(n+1)\) et on a montré que \(\dfrac{1}{n+1}\geqslant \ln(n+2)-\ln(n+1)\) donc
\(U_n+\dfrac{1}{n+1}\geqslant \ln(n+1)+\ln(n+2)-\ln(n+1)\).
Les logarithmes se simplifient donc \(U_n+\dfrac{1}{n+1}\geqslant \ln(n+2)\) soit \(U_{n+1}\geqslant \ln(n+2)\), ce qui établit la propriété au rang \(n+1\) donc l'hérédité est prouvée
[*] D'après le principe de récurrence la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel non nul \(n\).
[/list]
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
