Vecteurs coplanaires ?

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Re: Vecteurs coplanaires ?

par sos-math(21) » lun. 22 nov. 2021 20:38

Bonjour,
c'est une notion délicate car il y a souvent confusion entre coplanarité de points et coplanarité de vecteur.
Cela intervient souvent pour étudier la position relative d'une droite et d'un plan : si les vecteurs \(\overrightarrow{EF}\), \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont coplanaires, alors la droite \((EF)\) est parallèle au plan \((ABC)\). Si ce n'est pas le cas, la droite et le plan sont sécants selon un point.
Bonne conclusion

Re: Vecteurs coplanaires ?

par Silvie » dim. 21 nov. 2021 13:32

Bonjour
En conclusion des vecteurs coplanaires est trop chère
Elle est difficile à comprendre et à utilisé mais on peut rien en tirer
Avez vius un exemple où on peut l'utiliser ?
Merci et bon dimanche à tous le forum.

Re: Vecteurs coplanaires ?

par sos-math(21) » sam. 20 nov. 2021 21:41

Bonjour,
ta relation vectorielle est correcte mais tu confonds vecteurs et points.
Le fait d'écrire que \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EH}\) assure bien que ces vecteurs sont coplanaires mais cela ne signifie pas que les points utilisés pour les représenter le sont.
C'est pour cela que je t'avais donné la définition : tes vecteurs sont coplanaires lorsqu'on peut trouver des représentants de ces vecteurs situés dans un même plan, c'est-à-dire que les points utilisés pour les construire sont tous situés dans un même plan.
Un vecteur est "mobile", on peut le représenter n'importe où, à partir de n'importe quelle origine, mais un point est "statique", on ne peut pas le déplacer.
Je pense que tu mélanges un peu les notions de points coplanaires et vecteurs coplanaires : des points sont coplanaires lorsqu'il existe un plan auquel ils appartiennent tous ; des vecteurs sont coplanaires lorsqu'il existe des points coplanaires qui permettent de tous les représenter.
C'est vrai que c'est un même adjectif (coplanaire), qui s'applique à deux situations différentes.
Est-ce plus clair ?

Re: Vecteurs coplanaires ?

par Silvie » sam. 20 nov. 2021 21:27

sos-math(27) a écrit :
sam. 20 nov. 2021 19:38
Bonjour Sylvie,

Pour des vecteurs coplanaires, on va les utiliser pour montrer que des points sont dans un même plan, ou que des droite sont parallèles à des plans.
\(\vec u, \vec v, \vec w\) sont coplanaires signifie qu'il existe \(a\) et \(b\) réels (non tous les deux nuls) tels que : \(\vec w = a \times \vec u + b \times \vec v\)
Autrement dit : le vecteur \(\vec w\) pourrait s'écrire dans la base formée des vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\)

à bientôt
Comme AC= EF+EH en vecteur
( w =1u+1v )
On peut dire que les vecteurs AC ,EFet EH sont coplanaires et on déduit que les points A C,E,F et H sont coplanaires
C'est ce que j'ai put comprendre
Mais sur la figure le cube ses points ne sont pas dans le même plan.
J'arrive pas à comprendre se vocabulaire vecteurs coplanaires
tantôt on me dit ça appartient à un mêm plan tantôt on me dis non ils ne sont pas dans le même plan.
Je suis désolée mais j'arrive pas à tous comprendre
Je vous remercie pour votre patience.

Re: Vecteurs coplanaires ?

par sos-math(27) » sam. 20 nov. 2021 19:38

Bonjour Sylvie,
Pour compléter la réponse de mon collègue :
Si tu te rappelles les vecteurs colinéaires : deux vecteurs sont colinéaires quand ils ont la même direction.
il existe alors un nombre \(k \)tel que : \(\vec u = k \times \vec v\)
On peut utiliser alors des vecteurs collinaires pour montrer que des points sont alignés ou bien des droites parallèles.

Pour des vecteurs coplanaires, on va les utiliser pour montrer que des points sont dans un même plan, ou que des droite sont parallèles à des plans.
\(\vec u, \vec v, \vec w\) sont coplanaires signifie qu'il existe \(a\) et \(b\) réels (non tous les deux nuls) tels que : \(\vec w = a \times \vec u + b \times \vec v\)
Autrement dit : le vecteur \(\vec w\) pourrait s'écrire dans la base formée des vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\)

à bientôt

Re: Vecteurs coplanaires ?

par sos-math(21) » sam. 20 nov. 2021 19:27

Bonjour,
je crois que moi et mon collègue t'avons répondu : \(\overrightarrow{AC}\) est coplanaire avec \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{EH}\) car il existe un point (le point E dans cet exemple) tel que les représentants d'origine \(E\) de ces trois vecteurs sont dans un même plan \((EFGH)\)
Je te rappelle la définition de coplanarité de vecteurs :
Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si on peut trouver trois représentants de ces vecteurs situés dans un même plan.
C'est ce qu'on a prouvé en représentant \(\overrightarrow{AC}\) par \(\overrightarrow{EG}\) dans la face supérieure du cube qui contient les autres vecteurs \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{EH}\).
Bonne continuation

Re: Vecteurs coplanaires ?

par Silvie » sam. 20 nov. 2021 19:11

SoS-Math(9) a écrit :
sam. 20 nov. 2021 14:43
Bonjour Silvie,

Attention des vecteurs qui sont coplanaires ne signifie pas qu'ils sont dans un même plan mais qu'ils existent des représentants (vecteurs égaux) de ces vecteurs qui sont dans un même plan.
Avec l'exemple de mon collègue (figure ci-dessous), les vecteurs \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{EF}\), \(\overrightarrow{EH}\) sont coplanaires car \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{EG}\) et les trois vecteurs \(\overrightarrow{EG}\), \(\overrightarrow{EF}\), \(\overrightarrow{EH}\) sont coplanaires.
cube2.PNG

SoSMath.
Bonjour
Donc des vecteurs coplanaires ne signifie pas qu'ils sont dans le même plan .
Mais leursn representants sont dans le même plan .
Mais ma question est ce que le vecteur AC est coplanaire avec les vecteurs EF et EH
C'est de ses vecteurs que je parle pas de leur représentant
Merci pour votre réponse.

Re: Vecteurs coplanaires ?

par SoS-Math(9) » sam. 20 nov. 2021 14:43

Bonjour Silvie,

Attention des vecteurs qui sont coplanaires ne signifie pas qu'ils sont dans un même plan mais qu'ils existent des représentants (vecteurs égaux) de ces vecteurs qui sont dans un même plan.
Avec l'exemple de mon collègue (figure ci-dessous), les vecteurs \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{EF}\), \(\overrightarrow{EH}\) sont coplanaires car \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{EG}\) et les trois vecteurs \(\overrightarrow{EG}\), \(\overrightarrow{EF}\), \(\overrightarrow{EH}\) sont coplanaires.
cube2.PNG
cube2.PNG (83.97 Kio) Vu 4682 fois
SoSMath.

Re: Vecteurs coplanaires ?

par Silvie » sam. 20 nov. 2021 14:10

sos-math(21) a écrit :
ven. 19 nov. 2021 21:24
Bonjour,
si la figure ressemble à celle-ci :
cube.PNG
alors \(\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AC}\) donc les représentants d'origine \(E\) des trois vecteurs \(\overrightarrow{EH},\overrightarrow{EF},\overrightarrow{AC}\) sont tous dans le plan formé par la face du haut \((EFGH)\) donc cela prouve que ces trois vecteurs sont coplanaires.
Est-ce plus clair ?
Bonjour
Puisque le vecteur AC est coplanaire au vecteurs EF et EH on peut donc dire que les points A,C,E,F, H sont coplanaires ?
Ça me semble impensable non ?
Merci pour votre réponse

Re: Vecteurs coplanaires ?

par sos-math(21) » ven. 19 nov. 2021 22:35

Bonjour,
Oui c’est le même principe, il faut se souvenir qu’un vecteur est un objet abstrait et que l’on utilise des représentants de celui-ci qui peuvent se construire où l’on veut.
Dans le cas présent j’ai construit un représentant du vecteur de la face du bas dans la face du haut afin d’avoir trois représentants des vecteurs de départ partant d’une même origine et ayant leur trois extrémités dans le même plan que cette origine, ce qui prouve la coplanarité.
On aurait pu représenter les deux vecteurs de la face du haut dans la face du bas, les points utilisés pour les représenter seront tous dans la face du bas, ce qui prouve bien la coplanarité.
Est ce plus clair ?

Re: Vecteurs coplanaires ?

par Invité » ven. 19 nov. 2021 22:10

sos-math(21) a écrit :
ven. 19 nov. 2021 21:24
Bonjour,
si la figure ressemble à celle-ci :
cube.PNG
alors \(\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AC}\) donc les représentants d'origine \(E\) des trois vecteurs \(\overrightarrow{EH},\overrightarrow{EF},\overrightarrow{AC}\) sont tous dans le plan formé par la face du haut \((EFGH)\) donc cela prouve que ces trois vecteurs sont coplanaires.
Est-ce plus clair ?
Merci
Mais le vecteur AC est bien sur la face ABCD du cube et les vecteurs EF et EH sont bien sur la face d'en haut c'est bien ce qu'on vois sur la figure.
Mais pourquoi on dit que les 3 vecteur sont dans le même plan formée par la face d'en haut. ?
J'ai essayer de comprendre votre raisonement et je me dit qu'on peut aussi dire qu'ils sont dans le même plan formé par la face d'en bas, est ce possible ?
Merci de votre réponse.

Re: Vecteurs coplanaires ?

par sos-math(21) » ven. 19 nov. 2021 21:24

Bonjour,
si la figure ressemble à celle-ci :
cube.PNG
alors \(\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AC}\) donc les représentants d'origine \(E\) des trois vecteurs \(\overrightarrow{EH},\overrightarrow{EF},\overrightarrow{AC}\) sont tous dans le plan formé par la face du haut \((EFGH)\) donc cela prouve que ces trois vecteurs sont coplanaires.
Est-ce plus clair ?

Re: Vecteurs coplanaires ?

par Silvie » ven. 19 nov. 2021 20:45

sos-math(21) a écrit :
ven. 19 nov. 2021 20:15
Bonjour,
Des vecteurs sont coplanaires si on peut les représenter dans un même plan.
Il s’agit de prouver qu’un des vecteurs est combinaison linéaire des deux autres.
Envoie un schéma de ta situation pour que nous t’aidions à faire ton exercice.
Bonne continuation
Le schéma c'est un cube de base ABCD et audessus EFGH un cube quoi
La question le vecteur AC est il coplanaire avec les vecteurs EF et EH?
Merci

Re: Vecteurs coplanaires ?

par sos-math(21) » ven. 19 nov. 2021 20:15

Bonjour,
Des vecteurs sont coplanaires si on peut les représenter dans un même plan.
Il s’agit de prouver qu’un des vecteurs est combinaison linéaire des deux autres.
Envoie un schéma de ta situation pour que nous t’aidions à faire ton exercice.
Bonne continuation

Re: Vecteurs coplanaires ?

par Silvie » ven. 19 nov. 2021 19:40

Dans un cube ABCDEFGH le vecteur AC est il coplanaires avec les vecteurs EF et EH ?
Et comment on justifie la réponse ?
Merci beaucoup.pour votre aide

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