par sos-math(21) » mar. 19 oct. 2021 07:59
Bonjour,
mes derniers messages sur ce fil de discussion manquaient de précision donc je prends le temps de mieux présenter la démarche.
Je reprends la méthode de résolution d'une équation du type z^n=w, avec w réel ou complexe.
On regarde d'abord les modules : |z|^n=|w| donc |z|=|w|^(1/n).
On regarde ensuite les arguments, en notant theta un argument de w,
on a n*arg(z)=arg(w) + 2kpi, avec k dans Z.
soit en divisant par n : arg(z)=arg(w)/n+2kpi/n, avec k dans Z.
Quitte à enlever des tours complets (des multiples de 2pi), on peut se limiter aux valeurs de k comprises entre 0 et n-1.
Les solutions finales sont donc les complexes de la forme |z|^(1/n)exp(i(arg(w)/n+2kpi/n)), avec k compris entre 0 et n-1.
Pour l'équation z^3=-27, on regarde les modules : |z|^3=27 donc |z|=3.
puis comme -27=27exp(i*pi), on a les solutions de la forme 3exp(i(pi/3+2kpi/3)), avec k=0,1,2, soit dans l'ordre des valeurs de k : 3exp(i*pi/3),-3, 3exp(5ipi/3)=3exp(-i*pi/3).
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
Bonjour,
mes derniers messages sur ce fil de discussion manquaient de précision donc je prends le temps de mieux présenter la démarche.
Je reprends la méthode de résolution d'une équation du type z^n=w, avec w réel ou complexe.
On regarde d'abord les modules : |z|^n=|w| donc |z|=|w|^(1/n).
On regarde ensuite les arguments, en notant theta un argument de w,
on a n*arg(z)=arg(w) + 2kpi, avec k dans Z.
soit en divisant par n : arg(z)=arg(w)/n+2kpi/n, avec k dans Z.
Quitte à enlever des tours complets (des multiples de 2pi), on peut se limiter aux valeurs de k comprises entre 0 et n-1.
Les solutions finales sont donc les complexes de la forme |z|^(1/n)exp(i(arg(w)/n+2kpi/n)), avec k compris entre 0 et n-1.
Pour l'équation z^3=-27, on regarde les modules : |z|^3=27 donc |z|=3.
puis comme -27=27exp(i*pi), on a les solutions de la forme 3exp(i(pi/3+2kpi/3)), avec k=0,1,2, soit dans l'ordre des valeurs de k : 3exp(i*pi/3),-3, 3exp(5ipi/3)=3exp(-i*pi/3).
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation