par sos-math(21) » mer. 19 mai 2021 13:35
Bonjour,
Ton intégrale vaut effectivement 0 et cette valeur est liée à une propriété géométrique de ton intervalle et de la courbe représentative de la fonction cube.
La fonction cube est une fonction impaire, cela signifie que des nombres opposés ont des images opposées, ce qui se généralise avec l'écriture \(f(-x)=-f(x)\).
Graphiquement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative d'une fonction impaire admet l'origine comme centre de symétrie. Je t'ai mis une figure interactive pour que tu comprennes mieux. Voici une copie d'écran de ce fichier :
En conséquence, si on considère un intervalle symétrique par rapport à 0, comme l'intervalle \([-2\,;\,2]\), les intégrales \(\displaystyle \int_{-2}^0f(x)\text{d}x\) et \(\displaystyle \int_{0}^2f(x)\text{d}x\) auront des valeurs opposées et leur somme sera donc nulle d'où \(\displaystyle \int_{-2}^2f(x)\text{d}x\).
Téléchargez la figure ici.
J'espère que tu as assez d'informations pour répondre à tes deux dernières questions.
Bonne continuation
Bonjour,
Ton intégrale vaut effectivement 0 et cette valeur est liée à une propriété géométrique de ton intervalle et de la courbe représentative de la fonction cube.
La fonction cube est une fonction impaire, cela signifie que des nombres opposés ont des images opposées, ce qui se généralise avec l'écriture \(f(-x)=-f(x)\).
Graphiquement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative d'une fonction impaire admet l'origine comme centre de symétrie. Je t'ai mis une figure interactive pour que tu comprennes mieux. Voici une copie d'écran de ce fichier :
[attachment=0]impaire_copie_ecran.PNG[/attachment]
En conséquence, si on considère un intervalle symétrique par rapport à 0, comme l'intervalle \([-2\,;\,2]\), les intégrales \(\displaystyle \int_{-2}^0f(x)\text{d}x\) et \(\displaystyle \int_{0}^2f(x)\text{d}x\) auront des valeurs opposées et leur somme sera donc nulle d'où \(\displaystyle \int_{-2}^2f(x)\text{d}x\).
[attachment=1]impaire.ggb[/attachment]
J'espère que tu as assez d'informations pour répondre à tes deux dernières questions.
Bonne continuation