Matrice

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Re: Matrice

par SoS-Math(34) » lun. 14 déc. 2020 18:34

A bientôt sur le forum!

Re: Matrice

par Mina » sam. 12 déc. 2020 18:21

Merci beaucoup !

Re: Matrice

par sos-math(21) » sam. 12 déc. 2020 18:13

Oui, c'est cela.
Bonne continuation

Re: Matrice

par Mina » sam. 12 déc. 2020 17:46

θ(a;b)=θ(a';b') <=> a+ib=a'+ib' <=> a=a' et b=b' ?

Re: Matrice

par SoS-Math(25) » sam. 12 déc. 2020 16:35

Ici il faut manipuler des nombres complexes.

Il faut démontrer que si deux couples (a;b) et (a';b') ont la même image par \(\Theta\) alors nécessairement (a;b) = (a';b') (c'est à dire a = a' et b = b'). Autrement dit, l'antécédent est unique.

Pour cela, on part de :

\(\Theta (a;b) = \Theta(a';b') \Leftrightarrow a+ib = a' + ib' \Leftrightarrow \ldots\)

Je te laisse conclure.

Re: Matrice

par Mina » sam. 12 déc. 2020 16:14

J'ai une dernière question... Je n'ai pas bien compris l'injection pour la 1), comment prouver que θ(a;b) = θ(a':b') et a=a' / b=b' vu que je ne peux pas manipuler de matrices.

Re: Matrice

par Mina » sam. 12 déc. 2020 16:08

Ah mais oui... Merci beaucoup !

A bientôt bon week-end

Re: Matrice

par SoS-Math(25) » sam. 12 déc. 2020 15:59

Bonjour Mina,

C'est bien.

Pour l'avant dernière, il faut appliquer le principe de multiplication des matrices : lignes par colonnes

\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} a' & b'\\ -b'& a'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} aa' + b\times(-b') & \ldots\\ \ldots & \ldots \end{pmatrix}\)

A bientôt

Re: Matrice

par Mina » sam. 12 déc. 2020 15:30

Je pense avoir enfin terminé, pourriez-vous me dire si c'est bon s'il vous plaît ?

2) Calculons T\(\begin{pmatrix} \pi & \sqrt{2}\\ -\sqrt{2} & \pi \end{pmatrix}\)
--> a= \(\pi\) et b= \(\sqrt{2}\)

Or z= a+ib
Alors z= \(\pi\) + i\(\sqrt{2}\)
--> Donc l'image de la matrice T\(\begin{pmatrix} \pi & \sqrt{2}\\ -\sqrt{2} & \pi \end{pmatrix}\) vaut z= \(\pi\) + i\(\sqrt{2}\).

3) Pour l'addition:
\(\begin{pmatrix} 6 & 2\\ -2 & 6 \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} -5 & -1\\ 1 & -5 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\)

T\(\begin{pmatrix} 6 & 2\\ -2 & 6 \end{pmatrix}\) + T\(\begin{pmatrix} -5 & -1\\ 1 & -5 \end{pmatrix}\)
<=> z= 6+2i -5 -i
<=> 1+i

T( \(\begin{pmatrix} 6 & 2\\ -2 & 6 \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} -5 & -1\\ 1 & -5 \end{pmatrix}\) )
= T\(\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\)
<=> z= 1+i (on trouve donc le même résultant qu'auparavant)

Pour la multiplication:
T\(\begin{pmatrix} 6 & 2\\ -2 & 6 \end{pmatrix}\) * T\(\begin{pmatrix} -5 & -1\\ 1 & -5 \end{pmatrix}\)
<=> z= (6+2i)(-5-i)
<=> -28 -16i

T( \(\begin{pmatrix} 6 & 2\\ -2 & 6 \end{pmatrix}\) * \(\begin{pmatrix} -5 & -1\\ 1 & -5 \end{pmatrix}\) )
= \(\begin{pmatrix} -28 & -16\\ 16 & -28 \end{pmatrix}\)
<=> z= -28-16i (on trouve encore une fois le même résultat que précédemment)

4) Pour l'addition:

T(\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
= T\(\begin{pmatrix} a+a' & b+b'\\ -b+(-b') & a+a' \end{pmatrix}\)
<=> z=(a+a') + i(b+b')

T\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) + T\(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
<=> z=(a+ib) + (a'+ib')
<=> a+a' +ib+ib'
<=> a+a'+i(b+b')
Les deux matrices sont donc égales.

Pour la multiplication je crois que j'ai fait une erreur quelque part je ne trouve pas la même chose ? :

T( \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) * \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\) )
= T\(\begin{pmatrix} aa' & bb'\\ bb' & aa' \end{pmatrix}\)
<=> z= aa' + ibb'

T\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) * T\(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
<=> z= (a+ib)(a'+ib')
<=> aa'-bb'+i(ab'+ba')

Pourquoi je ne trouve pas la même chose ?

5) T(\(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)²)
= T\(\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
<=> z= -1

Re: Matrice

par sos-math(21) » sam. 12 déc. 2020 10:34

Oui, c'est cela.
La suite devrait être plus facile désormais.
Bonne continuation

Re: Matrice

par Mina » sam. 12 déc. 2020 10:32

Ah oui, donc pour T\(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\):

z= 0+i*1
=i

Donc T\(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) = i

Re: Matrice

par sos-math(21) » sam. 12 déc. 2020 10:23

Bonjour,
Non, la fonction \(\theta\) ne manipule pas de matrice : \(\theta\) associe un couple de réels à un complexe : c'est juste l'identification de \(\mathbb{R}^2 \) au corps des complexes \(\mathbb{C}\).
Pour la question 2, ton application \(T\) transforme une matrice \(\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\) de \(\xi\) en le complexe \(z=a+ib\)
Donc \(T\left(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\right)=1\).

Re: Matrice

par Mina » sam. 12 déc. 2020 10:14

Ah oui désolée !

Du coup pour pour l'injectivité:
θ(a;b) = θ(a';b')
\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
a=a et b=b'

Pour la surjectivité : On considère un élément z de l'ensemble d'arrivée. Montrons qu'il existe un couple (a;b), tel que z= θ(a;b).
--> Tout complexe z admet une écriture algébrique de la forme z= a+ib. Donc pour tout élément de l'ensemble d'arrivée peut s'écrire sous la forme θ(a;b), donc tout élément de l'ensemble d'arrivée admet au moins un antécédent.

Merci encore :)

Pour la 2) je suis toujours bloquée..

Re: Matrice

par sos-math(21) » ven. 11 déc. 2020 20:48

On parle de \(\theta\) car on répond à la question 1 : j’ai corrigé dans mon message .
J’ai l’impression que tu parles de \(\varphi\), ce qui ne répond pas à la question.

Re: Matrice

par Mina » ven. 11 déc. 2020 19:19

Ah super merci infiniment! Et pour l'injectivité ma réponse est juste ? :) Juste pour être sûre: on parle bien du couple θ(a;b) pour la surjectivité et non de φ(a;b) comme dans l'injectivité ?

Pour la question 2, je ne comprends pas... Par exemple pour T\(\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) je dois écrire la matrice par rapport à z= a+ib et θ (a;b) ? Je remplace les valeurs par les coeff a et b ?

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