Matrices

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Re: Matrices

par SoS-Math(33) » sam. 5 déc. 2020 15:35

Merci
Bon weekend et bonne continuation
A bientôt sur le forum
SoS-math

Re: Matrices

par Lisa » sam. 5 déc. 2020 15:31

Merci beaucoup pour votre aide :D

Bon week-end.

Re: Matrices

par SoS-Math(33) » sam. 5 déc. 2020 15:01

Bonjour Lisa,
Il y a une petite erreur dans ton calcul

MM'= \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
= \(\begin{pmatrix} aa'-bb' & ab'+ba'\\ {\bf \color{#FF0000}-} ab'{\bf \color{#FF0000}-}ba' & aa'-bb' \end{pmatrix}\)
= φ(aa' - bb' ; ab' + ba')
SoS-math

Re: Matrices

par Lisa » sam. 5 déc. 2020 14:37

J'ai compris pour M+M'.

Pour MM':

MM'= \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
= \(\begin{pmatrix} aa'-bb' & ab'+ba'\\ ab'+ba' & aa'-bb' \end{pmatrix}\)
= φ(aa' - bb' ; ab' + ba')

Donc MM'∈ ξ.

Re: Matrices

par SoS-Math(9) » sam. 5 déc. 2020 14:11

Bonjour Lisa,

Pourquoi changes-tu a' en a et b' en b ?

Tu as M+M' = \(\begin{pmatrix} a+a' & b+b'\\ -b + (-b') & a+a' \end{pmatrix}\)=φ(a+a';b+b') où a+a' \(\in\) IR et a+a' \(\in\) IR.
Donc M+M' \(\in\) ξ.

Pour le produit, montre que MM' = φ(c;d) où il faudra que tu détermines c et d en fonction de a, a',b et b'.

SoSMath.

Re: Matrices

par Lisa » sam. 5 déc. 2020 13:10

En fait je voulais démontrer que puisque M est une matrice de ξ, alors M' appartient aussi à cet ensemble vu que φ(a;b) = φ(a';b'), ce qui revient à dire que M=M'. C'est faux si je dis ça ?

M+M'= \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
= \(\begin{pmatrix} 2a & 2b\\ -2b & 2a \end{pmatrix}\)
= 2 \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\)

Le coefficient est 2 ? a=2 et b=2 ?

MM'= \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
= \(\begin{pmatrix} a^2-b^2 & 2ab\\ -2ab & a^2-b^2 \end{pmatrix}\)

Là je pense que b=2a mais a je ne vois pas trop..

Re: Matrices

par sos-math(21) » sam. 5 déc. 2020 12:12

Bonjour,
je ne comprends pas le début de ta réponse pour la 7 :
Pour la 7):

Comme on l'a démontré à la question 3), M est une matrice de ξ. Puisque φ(a;b) = φ(a';b'), alors M=M' et donc M' appartient également à ξ.
Il suffit de prendre deux matrices \(M=\varphi(a,b)\) et \(M'=\varphi(a',b')'\) et de montrer que la somme \(M+M'\) est aussi une image par \(\varphi\), c'est à dire qu'il existe \((c,d)\), tels que \(M+M'=\varphi(c,d)\), ces nombres vont être très simples à déterminer, par lecture des coefficients de la somme \(M+M'\).
Pour le produit, c'est la même chose : il suffit de prendre deux matrices \(M=\varphi(a,b)\) et \(M'=\varphi(a',b')'\) et de montrer que le produit \(M\times M'\) est aussi une image par \(\varphi\), c'est à dire qu'il existe \((e,f)\), tels que \(M\times M'=\varphi(c,d)\), ces nombres devraient être faciles à trouver, par lecture des coefficients du produit \(M\times M'\).
Bonne rédaction

Re: Matrices

par Lisa » sam. 5 déc. 2020 12:05

Pour la 6):

φ(a;b) = \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\)

φ(a';b')= \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)

a=a'
b=b'
-b=-b'

--> Donc φ(a;b) = φ(a';b').

Pour la 7):

Comme on l'a démontré à la question 3), M est une matrice de ξ. Puisque φ(a;b) = φ(a';b'), alors M=M' et donc M' appartient également à ξ.

M+M'= \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
A ce niveau j'additionne simplement les matrices ?

Re: Matrices

par sos-math(21) » sam. 5 déc. 2020 11:52

Bonjour,
oui c'est bon.
Pour la 6, c'est très rapide car tu identifies les coefficients emplacement par emplacement, ce qui te donnera vite \(a=a'\) et \(b=b'\).
Pour la 7 c'est extrêmement simple aussi : il suffit d'écrire les conditions et cela se déduit rapidement.
Bonne continuation

Re: Matrices

par Lisa » sam. 5 déc. 2020 11:41

Super merci !

Pour la 5) je pense avoir trouvé:

J²= \(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
= \(\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)

Donc J²= -1*I= -I
La matrice J² appartient à ξ, car a=-1 et b=0 (-0=0).

Pour la 6) je suis de nouveau bloquée, je dois résoudre un système ?

Re: Matrices

par sos-math(21) » ven. 4 déc. 2020 14:07

Bonjour,
tes réponses sont correctes.
Bonne continuation

Re: Matrices

par Lisa » ven. 4 déc. 2020 14:00

3) M= \(\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} 0 & b\\ -b & 0 \end{pmatrix}\)

= \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\)

C'est bon ? :)

4) La matrice \(\begin{pmatrix} 1/3 & 4\\ -4 & 2/3 \end{pmatrix}\) n'appartient pas à ξ, car a= 1/3 est différent de a=2/3.

Re: Matrices

par SoS-Math(7) » jeu. 3 déc. 2020 20:38

Bonjour Lisa,

A la question 3), tu reviens dans le cas général. La matrice \(M= φ (a;b) = aI + bJ\). Écris simplement cette matrice avec les nombres réels \(a\) et \(b\). En fait, tu as déjà utilisé cette écriture.

Bonne continuation.

Re: Matrices

par Lisa » jeu. 3 déc. 2020 18:58

D'accord.

Pour la 3), M= φ (a;b) = aI + bJ
Mais dans la question précédente, j'ai trouvé deux valeurs de a différentes: 1 et 0 et deux valeurs de b différentes: 1 et 0. Je dois prendre lesquelles pour trouver la matrice M ? Je peux faire tout simplement M= 1I + 0J ?

Re: Matrices

par SoS-Math(34) » jeu. 3 déc. 2020 18:51

Oui, cela suffit, mais tu peux faire plus simple. Tu n'es pas obligée de rédiger avec les matrices.

I = 1I + 0J = \(\varphi \left ( 1;0 \right )\)
J = 0I + 1J = \(\varphi \left ( 0;1 \right )\)

Bonne continuation,
Sosmaths

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