par sos-math(21) » dim. 1 nov. 2020 08:39
Bonjour,
pour ce type de raisonnement, il vaut mieux passer par l'événement contraire <<Les k personnes choisies ont des dates d'anniversaires toutes distinctes>>
Dans ce cas, si tu considère la première personne, il y a un choix de dates de 365/S65=1.
Pour la deuxième, il reste 364 dates possibles donc une probabilité de\(\dfrac{364}{365}\).
Pour la troisième, il reste 363 dates possibles donc une probabilité de\(\dfrac{363}{365}\).
...
Pour la kème personne, il reste 365-k+1 dates possibles donc une probabilité de\(\dfrac{363}{365}\).
Donc par principe multiplicatif (les événements s'enchaînent), la probabilité de l'événement de départ est égal au produit de ces probabilités donc
\(\dfrac{365\times 364\times \ldots\times (365-k+1)}{365^k}\), ce que l'on peut aussi écrire :
\(\dfrac{365\times 364\times \ldots\times (365-k+1)}{365^k}=\dfrac{365\times 364\times \ldots\times 2\times 1}{((365-k)\times (365-k-1)\times \ldots\times 2\times 1)365^n}=\dfrac{365!}{(365-k)!\times 365^k}\) donc en prenant l'événement contraire on obtient bien \(p_k\)
Pour ton programme Python, il s'agit de calculer le produit \(365\times 364\times \ldots\times (365-k+1)\).
Donc on part de \(N=365\) et on parcourt l'intervalle des entiers entre 1 et \(k-1\) et à chaque tour de boucle \(i\) on remplace \(N\) par son produit avec \((365 -i)\)
Cette description devrait te permettre de compléter le programme Python.
Bonne continuation
Bonjour,
pour ce type de raisonnement, il vaut mieux passer par l'événement contraire [i]<<Les k personnes choisies ont des dates d'anniversaires toutes distinctes>>[/i]
Dans ce cas, si tu considère la première personne, il y a un choix de dates de 365/S65=1.
Pour la deuxième, il reste 364 dates possibles donc une probabilité de\(\dfrac{364}{365}\).
Pour la troisième, il reste 363 dates possibles donc une probabilité de\(\dfrac{363}{365}\).
...
Pour la kème personne, il reste 365-k+1 dates possibles donc une probabilité de\(\dfrac{363}{365}\).
Donc par principe multiplicatif (les événements s'enchaînent), la probabilité de l'événement de départ est égal au produit de ces probabilités donc
\(\dfrac{365\times 364\times \ldots\times (365-k+1)}{365^k}\), ce que l'on peut aussi écrire :
\(\dfrac{365\times 364\times \ldots\times (365-k+1)}{365^k}=\dfrac{365\times 364\times \ldots\times 2\times 1}{((365-k)\times (365-k-1)\times \ldots\times 2\times 1)365^n}=\dfrac{365!}{(365-k)!\times 365^k}\) donc en prenant l'événement contraire on obtient bien \(p_k\)
Pour ton programme Python, il s'agit de calculer le produit \(365\times 364\times \ldots\times (365-k+1)\).
Donc on part de \(N=365\) et on parcourt l'intervalle des entiers entre 1 et \(k-1\) et à chaque tour de boucle \(i\) on remplace \(N\) par son produit avec \((365 -i)\)
Cette description devrait te permettre de compléter le programme Python.
Bonne continuation