par sos-math(21) » lun. 19 oct. 2020 16:51
Bonjour,
pour une récurrence, il faut l'initialisation (tu l'as faite) et l'hérédité (passage du rang \(n\) au rang \(n+1\)).
On suppose donc qu'il existe \(n\in\mathbb{N}\), tel que \(u_0+u_1+\ldots+u_n=2n^2+2n\).
Si on passe au rang \(n+1\), cela revient à rajouter le terme de rang \(n+1\) à cette somme.
Celui-ci vaut \(u_{n+1}=4(n+1)=4n+4\) donc la somme des termes jusqu'au rang \(n+1\) devient :
\(u_0+u_1+\ldots+u_{n+1}=\underbrace{u_0+u_1+\ldots+u_n}_{=2n^2+2n \,\text{hyp. de récurrence}}+4n+4=2n^2+2n+4n+4\)
Ensuite je te laisse vérifier que cette expression est bien aussi égale à \(2(n+1)^2+2(n+1)\)
Tu auras alors montré l'hérédité et il te restera à conclure par récurrence.
Bonne continuation
Bonjour,
pour une récurrence, il faut l'initialisation (tu l'as faite) et l'hérédité (passage du rang \(n\) au rang \(n+1\)).
On suppose donc qu'il existe \(n\in\mathbb{N}\), tel que \(u_0+u_1+\ldots+u_n=2n^2+2n\).
Si on passe au rang \(n+1\), cela revient à rajouter le terme de rang \(n+1\) à cette somme.
Celui-ci vaut \(u_{n+1}=4(n+1)=4n+4\) donc la somme des termes jusqu'au rang \(n+1\) devient :
\(u_0+u_1+\ldots+u_{n+1}=\underbrace{u_0+u_1+\ldots+u_n}_{=2n^2+2n \,\text{hyp. de récurrence}}+4n+4=2n^2+2n+4n+4\)
Ensuite je te laisse vérifier que cette expression est bien aussi égale à \(2(n+1)^2+2(n+1)\)
Tu auras alors montré l'hérédité et il te restera à conclure par récurrence.
Bonne continuation