par sos-math(21) » dim. 18 déc. 2022 09:54
Bonjour,
quand tu résous \(f(x)=y\), tu arrives à \(x(2-y)=5y+3\) : tu ne peux diviser que si \(2-y\neq 0\).
Donc pour \(y=2\), l'équation n' a pas de solution et pour \(y\neq 2\), l'équation a une seule solution \(x=\dfrac{5y+3}{2-y}\).
Donc au final, l'équation \(f(x)=y\) a au plus une solution donc pour toute valeur de \(y\) de l'ensemble d'arrivée, \(f\) a au plus un antécédent, donc \(f\) est injective.
Une autre manière de montrer l'injectivité, est de montrer que si \(f(x)=f(x')\) alors \(x=x'\) :
on part de \(\dfrac{2x-3}{x+5}=\dfrac{2x'-3}{x'+5}\).
En calculant les produits en croix et en développant, on a \(2xx'+10x-3x'-15=2xx'-3x+10x'-15\), on peut simplifier et réduire :
\(10x-3x'=-3x+10x'\), qui donne \(13x-13x'=0\) soit \(13(x-x')=0\) donc \(x=x'\).
Pour la suite, l'équation \(f(x)=2\) mène à ce que tu as obtenu \(2x-3=2x+10\) soit en simplifiant \(-3=10\) ce qui est faux donc l'équation n'a pas de solution.
Ainsi avec cet exemple, tu montres que \(f\) n'est pas surjective car il existe un élément de l'ensemble d'arrivée qui n'a pas d'antécédent.
Ainsi, \(f\) n'étant pas surjective, elle n'est pas bijective.
Est-ce plus clair ?
Bonjour,
quand tu résous \(f(x)=y\), tu arrives à \(x(2-y)=5y+3\) : tu ne peux diviser que si \(2-y\neq 0\).
Donc pour \(y=2\), l'équation n' a pas de solution et pour \(y\neq 2\), l'équation a une seule solution \(x=\dfrac{5y+3}{2-y}\).
Donc au final, l'équation \(f(x)=y\) a au plus une solution donc pour toute valeur de \(y\) de l'ensemble d'arrivée, \(f\) a au plus un antécédent, donc \(f\) est injective.
Une autre manière de montrer l'injectivité, est de montrer que si \(f(x)=f(x')\) alors \(x=x'\) :
on part de \(\dfrac{2x-3}{x+5}=\dfrac{2x'-3}{x'+5}\).
En calculant les produits en croix et en développant, on a \(2xx'+10x-3x'-15=2xx'-3x+10x'-15\), on peut simplifier et réduire :
\(10x-3x'=-3x+10x'\), qui donne \(13x-13x'=0\) soit \(13(x-x')=0\) donc \(x=x'\).
Pour la suite, l'équation \(f(x)=2\) mène à ce que tu as obtenu \(2x-3=2x+10\) soit en simplifiant \(-3=10\) ce qui est faux donc l'équation n'a pas de solution.
Ainsi avec cet exemple, tu montres que \(f\) n'est pas surjective car il existe un élément de l'ensemble d'arrivée qui n'a pas d'antécédent.
Ainsi, \(f\) n'étant pas surjective, elle n'est pas bijective.
Est-ce plus clair ?