Bonjour,
pour la démonstration, on part d'une propriété générale sur le rapport des aires dans un triangle :
Cette propriété se prouve en utilisant la hauteur commune aux deux triangles :
\(\dfrac{\text{aire}(ABM)}{\text{aire}(ACM)}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BM\times HA}{\dfrac{1}{2}CM\times HA}=\dfrac{BM}{CM}\)
Quand on l'applique au triangle avec la médiane, on a l'égalité des aires \(\text{aire}(ABA')=\text{aire}(ACA')=a\) dans le triangle \(ABC\).
De même, dans le triangle \(BMC\), on a \(\text{aire}(MBA')=\text{aire}(MCA')=b\).
Ainsi, en nommant les deux aires \(c\) et \(d\), on a par différence les aires \(a-b-c\) et \(a-b-d\).
On obtient ensuite les rapports d'aire et de longueurs (première propriété) :
\(\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{c}{a-b-c}\) dans le triangle \(AMB\) avec le partage selon \((MS)\)
\(\dfrac{TA}{TC}=\dfrac{d}{a-b-d}\) dans le triangle \(AMB\)avec le partage selon \((MT)\)
Puis en travaillant dans d'autres triangles :
\(\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{c+d+a-b-d}{a-b-c+2b}=\dfrac{a-b+c}{a+b-c}\) dans le triangle \(ABC\) avec le partage selon \((CS)\)
\(\dfrac{TA}{TC}=\dfrac{c+d+a-b-c}{a-b-d+2b}=\dfrac{a-b+d}{a+b-d}\) dans le triangle \(ABC\) avec le partage selon \((BT)\)
On prend les deux expressions de la fraction \(\dfrac{SA}{SB}\) :
\(\dfrac{c}{a-b-c}=\dfrac{a-b+c}{a-c+b}\)
On fait les produits en croix en remarquant une identité remarquable \((a-b-c)(a-b+c)=((a-b)-c)((a-b)+c)=(a-b)^2-c^2\)
et \(c((a+b)-c)=c(a+b)-c^2\), soit en égalant ces deux produits en croix, on a les \(c^2\) qui s'éliminent et
\(c(a+b)=(a-b)^2\), donc \(c=\dfrac{(a-b)^2}{a+b}\)
Donc le rapport : \(\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{\dfrac{(a-b)^2}{a+b}}{a-b-\dfrac{(a-b)^2}{a+b}}=\dfrac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)-(a-b)^2}=\dfrac{(a-b)^2}{2ab}\) en développant et réduisant l'expression du dénominateur
De la même manière, on a pour l'autre rapport \(\dfrac{TA}{TC}\) l'égalité des produits en croix :
\(d((a+b)-d)=(a-b)^2-d^2\) soit \(d=\dfrac{(a-b)^2}{a+b}\), ce qui prouve que \(d=c\).
On a ensuite en remplaçant \(d\) par \(c\) dans le quotient :
\(\dfrac{TA}{TC}=\dfrac{d}{a-b-d}=\dfrac{c}{a-b-c}=\dfrac{SA}{SB}\)
Ainsi, en faisant les produits en croix, on a :
\(SA\times TC = TA\times SB\),
En rajoutant le produit \(SA\times TA\) dans chaque membre, on a :
\(SA \times TC+SA\times TA=TA\times SB+SA\times TA\), soit en factorisant :
\(SA(TC+TA)=TA(SB+SA)\) soit \(SA\times AC=TA\times AB\) soit en divisant par \(AB\times AC\), on a :
\(\dfrac{AS}{AB}=\dfrac{AT}{AC}\).
Puis on applique la réciproque du théorème de Thalès qui assure alors que \((ST)//(BC)\).
Tu vois que la démonstration est assez longue et calculatoire.
Bonne consultation