par sos-math(21) » mar. 1 févr. 2022 20:10
Bonjour,
j'imagine que tu as fait une figure pour te représenter la situation (ou peut-être est-elle donnée dans l'énoncé).
Tu peux déjà utiliser une première utilisation du produit scalaire avec le cosinus de l'angle \(\widehat{IBJ}\) :
\(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BJ}=BI\times BJ\times \cos(\widehat{IBJ})\).
\(BI\) et \(BJ\) sont égales car ce sont les longueurs des hypoténuses de deux triangles rectangles dont les côtés de l'angle droit valent \(a\) et \(\dfrac{a}{2}\). On a donc \(BI\times BJ=BI^2=BA^2+AI^2=a^2+\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{5a^2}{4}\) d'après le théorème de Pythagore.
Par ailleurs, tu peux calculer ton produit scalaire en le décomposant (grâce à la relation de Chasles) sur les côtés du carré :
\(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BJ}=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}).(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CJ})\)
Je te laisse développer ce "double" produit scalaire, il y aura des simplifications qui vont de permettre d'obtenir une autre expression pour le produit scalaire. Tu pourras alors en déduire une valeur pour \(\cos(\widehat{IBJ})\), puis une mesure de cet angle : tu devrais trouver environ 36,87°.
Bon calcul.
Bonjour,
j'imagine que tu as fait une figure pour te représenter la situation (ou peut-être est-elle donnée dans l'énoncé).
Tu peux déjà utiliser une première utilisation du produit scalaire avec le cosinus de l'angle \(\widehat{IBJ}\) :
\(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BJ}=BI\times BJ\times \cos(\widehat{IBJ})\).
\(BI\) et \(BJ\) sont égales car ce sont les longueurs des hypoténuses de deux triangles rectangles dont les côtés de l'angle droit valent \(a\) et \(\dfrac{a}{2}\). On a donc \(BI\times BJ=BI^2=BA^2+AI^2=a^2+\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{5a^2}{4}\) d'après le théorème de Pythagore.
Par ailleurs, tu peux calculer ton produit scalaire en le décomposant (grâce à la relation de Chasles) sur les côtés du carré :
\(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BJ}=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}).(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CJ})\)
Je te laisse développer ce "double" produit scalaire, il y aura des simplifications qui vont de permettre d'obtenir une autre expression pour le produit scalaire. Tu pourras alors en déduire une valeur pour \(\cos(\widehat{IBJ})\), puis une mesure de cet angle : tu devrais trouver environ 36,87°.
Bon calcul.