Formules de bayes

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Re: Formules de bayes

par sos-math(21) » mar. 1 juin 2021 08:34

Bonjour,
pour les calculs, cela me semble correct.
Juste une petite précision sur les formats : une probabilité de 0,91 s'écrit 91% au format pourcentage (et non 0,91%).
Tes calculs te montrent que, plus la probabilité de la maladie est importante, plus la probabilité de \(P_M(T)\) est élevée.
Cela signifie que la décision d'abattre systématiquement les bovins testés positifs doit être prise dans un contexte de circulation de maladie élevée.
Dans le cas d'une circulation plus faible (comme \(x=0,001\)), la probabilité d'être malade sachant que le test est positif est de \(0,09\), ce qui est tout de même assez faible.
Je dirai donc qu'il faut tenir compte du niveau de circulation de la maladie pour prendre une décision aussi radicale.
Bonne continuation

Re: Formules de bayes

par Marko » dim. 30 mai 2021 12:08

Bonjour
Donc le dernier calcul je fais
\((P_T(M)=\dfrac{0,99\times 0,1}{0,98\times 0,1+0,01} =\frac{11}{12}=0,916\)
4)que sa décision juste vu le pourcentage élevé des résultats que qu’ont a obtenu à la question 3b 0,91% et 0,5%

Re: Formules de bayes

par sos-math(21) » dim. 30 mai 2021 11:13

Bonjour,
tes calculs semblent corrects.
Cependant, tu as obtenu la formule \(P_T(M)=\dfrac{0,99x}{0,98x+0,01}\) donc tu as tout intérêt à remplacer directement \(x\) par sa valeur directement dans cette formule cela te fera moins de calcul :
par exemple pour \(x=\dfrac{1}{1000}\), tu as \(P_T(M)=\dfrac{0,99\times 0,001}{0,98\times 0,001+0,01}=\dfrac{0,00099}{0,01098}\approx 0,0901\)
Bonne continuation

Re: Formules de bayes

par Marko » dim. 30 mai 2021 10:38

Si x=\(\frac{1}{100}\)

\(P(M\cap T)= P(M)\times P_{M}(T) = (\frac{1}{100})\times0,99=0,0099\)

\(P(T)=P(M\cap T)+P(\overline{M} \cap T)= P(M)\times P_{M}(T)+ P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)=(\frac{1}{100})\times 0,99 +(1-\frac{1}{100})\times 0,01=0,0099+0,0099=0,0198\)

\(P_{T}(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}=\frac{P(M)\times P_{M}(T)}{P(M)\times P_{M}(T)+ P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)} =\frac{0,0099}{0,0198}=\frac{1}{2}=0,5\)

Re: Formules de bayes

par Marko » dim. 30 mai 2021 10:26

Bonjour

b)Si x=\(\frac{1}{1000}\)

\(P(M\cap T)= P(M)\times P_{M}(T) = (\frac{1}{1000})\times0,99=\frac{99}{100000}=0,00099\)

\(P(T)=P(M\cap T)+P(\overline{M} \cap T)= P(M)\times P_{M}(T)+ P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)=(\frac{1}{1000})\times 0,99 +(1-\frac{1}{1000})\times 0,01=0,00099+0,0099=0,01089\)

\(P_{T}(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}=\frac{P(M)\times P_{M}(T)}{P(M)\times P_{M}(T)+ P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)} =\frac{0,00099}{0,01089}=\frac{1}{11}\)

Re: Formules de bayes

par sos-math(21) » dim. 30 mai 2021 08:07

Bonjour,
je ne sais pas si on peut juger sur la vraisemblance d'un tel test (viable ou pas viable) mais on peut seulement dire, au vu des pourcentages de détection, que ce test a l'air très fiable car il fait très peu d'erreurs.
Pour tes calculs mathématiques, cela me semble correct (tu as juste mis un \(\times\) dans ta formule des probabilités totales alors que c'est un \(+\)).
Pour ta dernière expression, tu peux simplifier le dénominateur en réduisant les termes comportant un \(x\) :
\(P_T(M)=\dfrac{0,99x}{0,98x+0,01}\)
Bonne continuation

Re: Formules de bayes

par Marko » sam. 29 mai 2021 23:38

Bonjour
2)Que ce test n’a l’air pas très viable car la probabilité qu’un bovin ayant la maladie ait un test positif est égale à 99% identique pour la probabilité qu’un bovin sain ait un test négatif le pourcentage de ce test ne peut être aussi élevé sans avoir fait certain erreur.
3)a)\(P(M\cap T)= P(M)\times P_{M}(T) = (x)\times0,99=0,99x\)

\(P(T)=P(M\cap T)\times P(\overline{M} \cap T)= P(M)\times P_{M}(T)+ P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)=(x)\times 0,99 +(1-x)\times 0,01=0,99x+0,01-0,01x\)

\(P_{T}(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}=\frac{P(M)\times P_{M}(T)}{P(M)\times P_{M}(T)+ P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)} =\frac{0,99x}{0,99x+0,01-0,01x}\)

Re: Formules de bayes

par sos-math(21) » sam. 29 mai 2021 21:00

Bonjour,
Ton arbre me semble correct. Tu peux poursuivre en utilisant la formule de Bayes pour calculer \(P_T(M)\) en fonction de \(x\).
Bonne continuation

Re: Formules de bayes

par Marko » sam. 29 mai 2021 17:32

Bonjour
Voici l’arbre que j’ai fait pour l’exercice d’application 1
\(P_{M}(T)=0,99\)
\(P_{M}\overline{(T)}=0,01\)
\(P_{\overline{M}}(T)=0,01\)
\(P_{\overline{M}}\overline{(T)}=0,99\)
\(P(M)=x\)
\(P(\overline{M})=1-x\)
Fichiers joints
C0D8979A-8DAB-4486-9611-FE842C5C4132.jpeg

Re: Formules de bayes

par sos-math(21) » sam. 29 mai 2021 15:00

Bonjour,
C’est cela (il manque juste les \(P\) autour des intersections d’évènements dans ton premier calcul).
Je pense que tu as compris le principe.
Bonne continuation

Re: Formules de bayes

par Marko » sam. 29 mai 2021 13:55

Bonjour
Donc
2)\(P(B)=B\cap A+ B\cap\overline{A}=P_{A}(B)\times P(A)+ P_{\overline{A}}(B)\times P(\overline{A})\)


\(P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)\)

\(P_{B}(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\times P_{A}(B)}{P_{A}(B)\times P(A)+ P_{\overline{A}}(B)\times P(\overline{A})}\)

Re: Formules de bayes

par sos-math(21) » sam. 29 mai 2021 11:29

Bonjour,
dans cette partie, il s'agit de généraliser ce que tu as fait dans la partie précédente, qui portait sur un exemple précis.
Il faut donc mettre les notations correspondant aux probabilités et travailler avec ces notations :
Fichier_000 (16).png
Il faut reprendre la démarche de calcul de \(P(B)\) avec la formule des probabilités totales puis le calcul de \(P(A\cap B\) à partir de celles de l'arbre pour obtenir la probabilité conditionnelle "renversée" \(P_B(A)\).
Bon calcul

Re: Formules de bayes

par Marko » sam. 29 mai 2021 11:16

Bonjour
Dans cet exercice je dois compléter l’arbre et répondre au autre question mais il n’y a pas de valeur comment je dois faire cela
Fichiers joints
45D0BE70-9DE1-45F9-A372-378D705596D7.png

Re: Formules de bayes

par sos-math(21) » sam. 29 mai 2021 07:28

Bonjour,
Tes calculs semblent corrects.
En effet cela donne le risque d’erreur de diagnostic de la part du médecin qui diagnostique une grippe dès qu’il y a les trois symptômes alors que cela peut être un état grippal avec une probabilité de 0,14.
Le risque d’erreur de 14% peut être considéré comme raisonnable.
Bonne continuation

Re: Formules de bayes

par Marko » ven. 28 mai 2021 23:02

B)Donc si p=0,7
\(P(G)=0,7\)
\(P({\overline{G}})=1-p=1-0,7=0,3\)
\(S\cap \overline{G}\) : \(P(S\cap \overline{G})=P(\overline{G})\times P_{\overline{G}}(S) = 0,3\times0,35=0,105\)
\(P(S)=P(S\cap G)+P(S\cap \overline{G})=P({G})\times P_{{G}}(S)+P(\overline{G})\times P_{\overline{G}}(S) =(0,7\times0,95)+(0,3\times0,35)=0,665+0,105=0,77\)
\(P_{S}(\overline{G})=\dfrac{P(S\cap \overline{G})}{P(S)}\ =\frac{0,105}{0,77}=0,136\)
C)Oui il avait raison car la probabilité du pourcentage que les personnes ayant les trois symptômes et ont eu un étant grippal est très bas 0,136 alors que la probabilité de la grippe est de 0,95

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