par sos-math(21) » mar. 13 févr. 2024 21:00
Bonjour,
ce n'est pas un exercice facile et je vous propose une solution.
Le triangle isocèle est une invitation à travailler dans le repère \((A\,,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC})\).
Dans ce repère, on a les coordonnées suivantes :
\(A(0\,;\,0)\), \(B(1\,;\,0)\), \(C(0\,;\,1)\) puis \(F\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\) comme milieu de \([BC]\) (reprendre les coordonnées du milieu d'un segment dans un repère).
De même, la relation vectorielle \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CA}\) mène à \(G\left(0\,;\,-\dfrac{1}{4}\right)\)
À partir de là, on cherche un point \(M\) de l'axe des "abscisses" car il est sur le segment \([AB]\) tel que \(\overrightarrow{GM}\) soit colinéaire à \(\overrightarrow{GF}\). Le point \(M\) a donc pour coordonnées \((x\,;\,0)\) où \(x\) est le rapport recherché.
Après calcul des coordonnées de ces vecteurs, on a \( \overrightarrow{GM}\begin{pmatrix}x\\\frac{1}{4}\end{pmatrix}\) et \( \overrightarrow{GF}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{pmatrix}\).
On utilise ensuite le fait que les vecteurs seront colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :
\(x\times\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}=0\). La résolution de cette équation mène à \(x=\dfrac{1}{6}\) donc \(M\) est situé à \(\dfrac{1}{6}\) de \([AB]\) en partant de \(A\).
Enseignant en classe de seconde, je maintiens que cet exercice n'est pas facile du tout, bien que les méthodes employées soient toutes au programme de seconde. Peut-être est-ce un exercice de recherche dans un devoir maison ?
Bonne continuation
Bonjour,
ce n'est pas un exercice facile et je vous propose une solution.
Le triangle isocèle est une invitation à travailler dans le repère \((A\,,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC})\).
Dans ce repère, on a les coordonnées suivantes :
\(A(0\,;\,0)\), \(B(1\,;\,0)\), \(C(0\,;\,1)\) puis \(F\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\) comme milieu de \([BC]\) (reprendre les coordonnées du milieu d'un segment dans un repère).
De même, la relation vectorielle \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CA}\) mène à \(G\left(0\,;\,-\dfrac{1}{4}\right)\)
À partir de là, on cherche un point \(M\) de l'axe des "abscisses" car il est sur le segment \([AB]\) tel que \(\overrightarrow{GM}\) soit colinéaire à \(\overrightarrow{GF}\). Le point \(M\) a donc pour coordonnées \((x\,;\,0)\) où \(x\) est le rapport recherché.
Après calcul des coordonnées de ces vecteurs, on a \( \overrightarrow{GM}\begin{pmatrix}x\\\frac{1}{4}\end{pmatrix}\) et \( \overrightarrow{GF}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{pmatrix}\).
On utilise ensuite le fait que les vecteurs seront colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :
\(x\times\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}=0\). La résolution de cette équation mène à \(x=\dfrac{1}{6}\) donc \(M\) est situé à \(\dfrac{1}{6}\) de \([AB]\) en partant de \(A\).
Enseignant en classe de seconde, je maintiens que cet exercice n'est pas facile du tout, bien que les méthodes employées soient toutes au programme de seconde. Peut-être est-ce un exercice de recherche dans un devoir maison ?
Bonne continuation
