par sos-math(21) » mar. 3 mai 2022 12:06
Bonjour,
on reprend : quand on calcule \(f(x)-2\), on calcule la différence entre \(f(x)\) et \(2\).
Cette différence est égale à \(\dfrac{(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}\) : cette expression est positive donc \(f(x)-2\geqslant 0\) donc \(f(x)\geqslant 2\).
On a donc montré que toutes les images par \(f\) sont supérieures ou égales à 2, donc la plus petite image est aussi supérieure ou égale à 2.
Si on trouve une valeur de \(x\), tel que \(f(x)=2\), alors on est sûr qu'on sera à un minimum puisque toutes les images sont supérieures à 2.
C'est pourquoi on recherche le cas "limite" où \(f(x)=2\), ce qui revient à faire \(f(x)-2=0\), ce qui est équivalent à \(\dfrac{(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}=0\).
Or un quotient est égal à 0 si et seulement si son numérateur est égal à 0 donc si et seulement si \((x+1)^2=0\) soit \(x+1=0\) donc \(x=-1\).
Donc le minimum est atteint en \(x=-1\), et il est égal à 2.
J'espère que ces précisions te convaincront.
Bonne continuation
Bonjour,
on reprend : quand on calcule \(f(x)-2\), on calcule la différence entre \(f(x)\) et \(2\).
Cette différence est égale à \(\dfrac{(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}\) : cette expression est positive donc \(f(x)-2\geqslant 0\) donc \(f(x)\geqslant 2\).
On a donc montré que toutes les images par \(f\) sont supérieures ou égales à 2, donc la plus petite image est aussi supérieure ou égale à 2.
Si on trouve une valeur de \(x\), tel que \(f(x)=2\), alors on est sûr qu'on sera à un minimum puisque toutes les images sont supérieures à 2.
C'est pourquoi on recherche le cas "limite" où \(f(x)=2\), ce qui revient à faire \(f(x)-2=0\), ce qui est équivalent à \(\dfrac{(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}=0\).
Or un quotient est égal à 0 si et seulement si son numérateur est égal à 0 donc si et seulement si \((x+1)^2=0\) soit \(x+1=0\) donc \(x=-1\).
Donc le minimum est atteint en \(x=-1\), et il est égal à 2.
J'espère que ces précisions te convaincront.
Bonne continuation