par sos-math(21) » mer. 13 oct. 2021 15:49
Bonjour,
c'est le début de ta démonstration : tu as supposé qu'il existait deux entiers p et q (que l'on peut supposer positifs sans perte de généralité) tels que
racine(2)=p/q, la fraction étant supposée irréductible.
En élevant tout au carré, tu as (tu l'as d'ailleurs écrit toi-même) p^2/q^2=2 (car la racine de 2 au carré donne 2) ce qui donne en multipliant par q^2 dans les deux membres de l'égalité : p^2=2q^2 : voilà ce que j'ai appelé l'égalité initiale, que tu avais aussi.
Comme tu as obtenu que p=2p' tu as, en remplaçant p par 2p', dans cette égalité : (2p')^2=2q^2 soit 4p'^2=2q^2 et en simplifiant par 2 :
2p'^2=q^2,
ce qui prouve que q^2 est pair. En utilisant le même raisonnement que pour p tu en déduis que q est pair.
Au final, tu as obtenu que p et q sont pairs tous les deux donc la fraction p/q se simplifierait par 2, ce qui contredit le fait que p/q était irréductible.
Cette contradiction prouve par l'absurde que l'hypothèse faite au départ est fausse.
Donc il n'existe pas d'entiers p et q tels que racine(2)=p/q donc racine(2) n'est pas rationnel, et est donc irrationnel.
Bonne continuation
Bonjour,
c'est le début de ta démonstration : tu as supposé qu'il existait deux entiers p et q (que l'on peut supposer positifs sans perte de généralité) tels que
racine(2)=p/q, la fraction étant supposée irréductible.
En élevant tout au carré, tu as (tu l'as d'ailleurs écrit toi-même) p^2/q^2=2 (car la racine de 2 au carré donne 2) ce qui donne en multipliant par q^2 dans les deux membres de l'égalité : p^2=2q^2 : voilà ce que j'ai appelé l'égalité initiale, que tu avais aussi.
Comme tu as obtenu que p=2p' tu as, en remplaçant p par 2p', dans cette égalité : (2p')^2=2q^2 soit 4p'^2=2q^2 et en simplifiant par 2 :
2p'^2=q^2,
ce qui prouve que q^2 est pair. En utilisant le même raisonnement que pour p tu en déduis que q est pair.
Au final, tu as obtenu que p et q sont pairs tous les deux donc la fraction p/q se simplifierait par 2, ce qui contredit le fait que p/q était irréductible.
Cette contradiction prouve par l'absurde que l'hypothèse faite au départ est fausse.
Donc il n'existe pas d'entiers p et q tels que racine(2)=p/q donc racine(2) n'est pas rationnel, et est donc irrationnel.
Bonne continuation