Bonjour,
Dans cet exercice, on travaille sur les vecteurs "directement", c'est-à-dire qu'on manipule les vecteurs à l'aide d'opérations de base (égalité, opposé, somme,...), et cela doit mener à des propriétés géométriques dont je te rappelle quelques-unes valables dans ta situation :
- \(ABCP\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PC}\)
- \(A\) est le milieu de \([NP]\) si et seulement si \(\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{AP}\)
Je t'ai donné les équivalences en termes de vecteurs pour répondre aux deux questions, il faut donc que tu établisses ces égalités vectorielles pour prouver les propriétés géométriques, et cela sans autre outil que les relations vectorielles de départ et la relation de Chasles.
Par exemple, pour montrer que \(ABCP\) est un parallélogramme, on va montrer que \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PC}\).
La seule chose que l'on sait sur le point \(P\), c'est qu'il est défini par la relation \(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\) donc on va insérer le point \(P\) dans le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) grâce à la relation de Chasles :
\(\overrightarrow{AB}=\underbrace{\overrightarrow{A\underline{P}}}_{=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}}+\overrightarrow{\underline{P}B}\), ce qui permet ensuite d'insérer l'expression définissant \(\overrightarrow{AP}\) :
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{PB}\)
Je te laisse simplifier cette somme vectorielle avec la relation de Chasles et tu pourras conclure.
Bonne continuation