par sos-math(21) » mer. 2 déc. 2020 16:05
Bonjour,
si on suppose que \(\sqrt{3}\) est rationnel, alors il existe deux entiers \(p\) et \(q\) premiers entre eux tels que \(\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}\) : cela signifie que la fraction est supposée irréductible.
À partir de l'égalité \(\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}\), on a \(p=\sqrt{3}q\), donc en élevant au carré, on a \(p^2=3q^2\).
Cette relation signifie que 3 est un diviseur de \(p^2\).
Pour montrer que 3 est aussi un diviseur de \(p\), alors on procède par disjonction de cas :
Dans la division euclidienne du nombre entier \(p\) par 3, le reste est soit 0, soit 1, soit 2.
- Si \(p = 3k+1\), alors \(p^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1\) donc si 3 divise \(p^2\), comme 3 divise \(9k^2+6k\), alors 3 divise la différence des deux : \(p^2-9k^2-6k-3=1\), ce qui est impossible
- Si \(p=3k+2\), alors \(p^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4=9k^2+12k+3+1\) donc si 3 divise \(p^2\), comme 3 divise \(9k^2+12k+3\), alors 3 divise la différence des deux : \(p^2-9k^2-12k-3=1\), ce qui est impossible
Donc il reste seulement la possibilité de \(p=3k\) donc que 3 divise aussi \(p\).
Bonne compréhension
Bonjour,
si on suppose que \(\sqrt{3}\) est rationnel, alors il existe deux entiers \(p\) et \(q\) premiers entre eux tels que \(\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}\) : cela signifie que la fraction est supposée irréductible.
À partir de l'égalité \(\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}\), on a \(p=\sqrt{3}q\), donc en élevant au carré, on a \(p^2=3q^2\).
Cette relation signifie que 3 est un diviseur de \(p^2\).
Pour montrer que 3 est aussi un diviseur de \(p\), alors on procède par disjonction de cas :
Dans la division euclidienne du nombre entier \(p\) par 3, le reste est soit 0, soit 1, soit 2.
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[*] Si \(p = 3k+1\), alors \(p^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1\) donc si 3 divise \(p^2\), comme 3 divise \(9k^2+6k\), alors 3 divise la différence des deux : \(p^2-9k^2-6k-3=1\), ce qui est impossible
[*] Si \(p=3k+2\), alors \(p^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4=9k^2+12k+3+1\) donc si 3 divise \(p^2\), comme 3 divise \(9k^2+12k+3\), alors 3 divise la différence des deux : \(p^2-9k^2-12k-3=1\), ce qui est impossible[/list]
Donc il reste seulement la possibilité de \(p=3k\) donc que 3 divise aussi \(p\).
Bonne compréhension