par sos-math(21) » mer. 21 oct. 2020 07:23
Bonjour,
le principe est de chercher la forme que peut prendre un nombre entier vérifiant cette propriété.
On part de l'hypothèse : on considère un entier \(n\) tel que pour \(a\) plus petit diviseur premier de \(n\), il existe un diviseur \(d\) de \(n\), tel que \(n=a^3+d^3\). \(a\) est un diviseur de \(n\), donc il existe un entier \(k\) tel que \(n=ka=a^3+d^3\) donc \(d^3=ka-a^3=a(k-a^2)\). Cette égalité prouve que \(a\) est un diviseur de \(d^3\) et comme \(a\) est premier, \(a\) est un diviseur de \(d\).
Ainsi l'hypothèse de départ entraîne qu'il existe un entier \(p\), tel que \(d=pa\), ainsi \(n=a^3+p^3a^3=a^3(1+p^3)\).
Cela te donne la forme générale des entiers... Il te reste à vérifier la réciproque : si un entier est de la forme \(n=a^3(1+p^3)\), avec \(a\) son plus petit diviseur premier et \(pa\) un diviseur de \(n\) alors il vérifie bien la propriété du départ.
Je n'avais pas répondu sur les exemples que tu avais trouvés mais certains étaient faux :
Pour n=9 et d=1, 9=8+1 2 ne divise pas 9
Pour n=16 et d=2, 16=8+8
Pour n=35 et d=3, 35=8+27 3 ne divise pas 35
Pour n=72 et d=4, 72=8+64
Pour n=133 et d=5, 133=8+125 2 ne divise pas 133 et 5 ne divise pas 133
Pour n=224 et d=6, 224=8+216 6 ne divise pas 224
Pour n=351 et d=7, 351=8+343 2 ne divise pas 351 et 7 non plus
Pour n=520 et d=8, 520=8+512
Je te laisse poursuivre le raisonnement,
Bonne continuation
Bonjour,
le principe est de chercher la forme que peut prendre un nombre entier vérifiant cette propriété.
On part de l'hypothèse : on considère un entier \(n\) tel que pour \(a\) plus petit diviseur premier de \(n\), il existe un diviseur \(d\) de \(n\), tel que \(n=a^3+d^3\). \(a\) est un diviseur de \(n\), donc il existe un entier \(k\) tel que \(n=ka=a^3+d^3\) donc \(d^3=ka-a^3=a(k-a^2)\). Cette égalité prouve que \(a\) est un diviseur de \(d^3\) et comme \(a\) est premier, \(a\) est un diviseur de \(d\).
Ainsi l'hypothèse de départ entraîne qu'il existe un entier \(p\), tel que \(d=pa\), ainsi \(n=a^3+p^3a^3=a^3(1+p^3)\).
Cela te donne la forme générale des entiers... Il te reste à vérifier la réciproque : si un entier est de la forme \(n=a^3(1+p^3)\), avec \(a\) son plus petit diviseur premier et \(pa\) un diviseur de \(n\) alors il vérifie bien la propriété du départ.
Je n'avais pas répondu sur les exemples que tu avais trouvés mais certains étaient faux :
[quote]
Pour n=9 et d=1, 9=8+1 [color=#FF0000]2 ne divise pas 9[/color]
Pour n=16 et d=2, 16=8+8
Pour n=35 et d=3, 35=8+27 [color=#FF0000]3 ne divise pas 35[/color]
Pour n=72 et d=4, 72=8+64
Pour n=133 et d=5, 133=8+125 [color=#FF0000]2 ne divise pas 133 et 5 ne divise pas 133[/color]
Pour n=224 et d=6, 224=8+216 [color=#FF0000]6 ne divise pas 224[/color]
Pour n=351 et d=7, 351=8+343 [color=#FF0000]2 ne divise pas 351 et 7 non plus[/color]
Pour n=520 et d=8, 520=8+512[/quote]
Je te laisse poursuivre le raisonnement,
Bonne continuation