par sos-math(21) » jeu. 13 juin 2024 20:03
Bonjour,
La linéarité de l'intégrale stipule que l'on peut "partager" l'intervalle d'intégration en plusieurs sous intervalles.
Si \(f\) est continue sur \([a\,;\,b]\) alors pour tout réel \(c\in]a\,;\,b[\) \(\displaystyle\int_a^b f(x)\text{d}x=\int_{a}^{c}f(x)\text{d}x+\int_{c}^{b}f(x)\text{d}x\)
Ainsi \(\displaystyle v_{n+1}-v_n=\int_{1}^{n+1}\ln(x)\text{d}x-\int_{1}^{n}\ln(x)\text{d}x=\int_{1}^{n+1}\ln(x)\text{d}x+\int_{n}^{1}\ln(x)\text{d}x=\int_{n}^{n+1}\ln(x)\text{d}x\) (relation de Chasles)
Comme \(ln(x)>0\) sur l'intervalle \([n\,;\,n+1]\), alors par positivité de l'intégrale, on a \(\displaystyle \int_{n}^{n+1}\ln(x)\text{d}x\geqslant 0\).
La différence \(v_{n+1}-v_n\) est donc positive ce qui prouve que la suite est croissante.
Bonne continuation
Bonjour,
La linéarité de l'intégrale stipule que l'on peut "partager" l'intervalle d'intégration en plusieurs sous intervalles.
Si \(f\) est continue sur \([a\,;\,b]\) alors pour tout réel \(c\in]a\,;\,b[\) \(\displaystyle\int_a^b f(x)\text{d}x=\int_{a}^{c}f(x)\text{d}x+\int_{c}^{b}f(x)\text{d}x\)
Ainsi \(\displaystyle v_{n+1}-v_n=\int_{1}^{n+1}\ln(x)\text{d}x-\int_{1}^{n}\ln(x)\text{d}x=\int_{1}^{n+1}\ln(x)\text{d}x+\int_{n}^{1}\ln(x)\text{d}x=\int_{n}^{n+1}\ln(x)\text{d}x\) (relation de Chasles)
Comme \(ln(x)>0\) sur l'intervalle \([n\,;\,n+1]\), alors par positivité de l'intégrale, on a \(\displaystyle \int_{n}^{n+1}\ln(x)\text{d}x\geqslant 0\).
La différence \(v_{n+1}-v_n\) est donc positive ce qui prouve que la suite est croissante.
Bonne continuation
