Bonjour,
je suis d'accord avec ce que tu proposes.
On est obligé de partir du rang n pour atteindre le rang n+1, c'est le principe même de l'hérédité, donc il n'y a pas d'autre moyen.
Il faut que tu intègres le [tex]n^2[/tex] à la fraction en mettant tout au même dénominateur, que tu factorises ensuite par n et que tu "arranges" le deuxième facteur, de sorte que tu obtiennes (n+1)(2n+1)...
Bon courage

Bonjour,
Pour démontrer ce que vous m'avez demandé, on peut montrer par récurrence que [tex]U_{n+1}[/tex]= [tex]\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}[/tex]+[tex]n^2[/tex]


Est-ce qu'on peut passer directement par récurrence au rang n+1 sans passer par cela?

Bonsoir,
On te demande de calculer une certaine aire :
Je te donne un exemple pour que tu voies ce que cela signifie :
[attachment=0]methode_rectangle.png[/attachment]
[tex]U_n[/tex] est la somme des rectangles verts sur la figure. Pour un rang p donné, le rectangle vert a pour dimensions [tex]\frac{p+1}{n}-\frac{p}{n}=\frac{1}{n}[/tex] et [tex]\frac{p^2}{n^2}[/tex]
Donc on a comme aire [tex]\frac{1}{n}\times\frac{p^2}{n^2} =\frac{p^2}{n^3}[/tex] donc si on fait la somme on a bien [tex]U_n=\sum_{p=0}^{n-1}\frac{1}{n}\times\frac{p^2}{n^2}=\frac{1}{n}\sum_{p=0}^{n-1}\frac{p^2}{n^2}[/tex] car le [tex]\frac{1}{n}[/tex] ne dépend pas de l'indice p, donc on peut le sortir de la somme.
Mais on peut aussi écrire que cette somme vaut aussi : [tex]\frac{1}{n^3}\sum_{p=0}^{n-1}p^2[/tex]
C'est vrai les questions que tu te poses sur le passage du rang n au rang n+1 sont légitimes, je me pose les mêmes questions.
Pour ma part, je me contenterais de te demander de montrer par récurrence sur n : [tex]\sum_{p=0}^{n-1}p^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}[/tex] car je ne suis pas sûr que l'on puisse montrer la propriété avec les rectangles directement par récurrence.
La relation [tex]U_{n+1}=U_n+\frac{n^2}{n^3}[/tex] ne me paraît pas correcte. Je tâche de vérifier...
Bon courage, démontre au moins ce que je te demande, ce qui te permettra de conclure quand même.

Bonjour,
En refaisant des exercices, je n'en comprends plus la correction :

On définit une fonction f(x) = x^2 sur [0;1] = I

On divise l'intervalle I en n intervalles de meme amplitude. On note Bo, B1, B2,... Bn les points de l'axe Ox ayant pour abscisses 0,1/n, 2/n, ...1, tel que le point Bp a pour abscisse p/n. les points C0, C1, C2,...Cn ont les mêmes abscisses que les points B0, B1, B2,...,Bn

on definit Un comme la somme des aires des rectangles de largeur [BpBp+1] et de hauteur [BpCp] pour p variant de 0 à n-1

Apres voir montré que Un = (1/n) x somme pour p allant de 0 à n-1 des (p^2/n^2), je dois montrer par recurrence que
Un = [tex]\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}[/tex]
dans la demonstration par récurrence, en supposant Un = [tex]\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}[/tex], je ne comprends pas ce que je dois démontrer, pourquoi est ce que je dois montrer que U[tex]\-{n+1}[/tex]= (1/n^3)([tex]\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}[/tex]?

Dans le corrigé, il y a écrit que Un+1 = Un + [tex]\frac{n^2}{n^3}[/tex], je ne comprends parce que je pensais que Un+1, c'était la somme des n+1 rectangles de largeur (1/n+1) donc j'aurai remplacé 1/n par 1/(n+1)