par sos-math(13) » dim. 4 janv. 2015 16:15
Bonjour,
d'une manière générale, oui, c'est bien ce que disent ces théorèmes, c'est à dire des banalités...
Mais là où ils deviennent précieux, c'est lorsque le calcul n'est plus possible (ce qu'on appelle des "formes indéterminées").
Par exemple, si lim u = +inf et lim v = -inf, dire que lim (u+v)=lim u + lim v ne permet pas de conclure, car (+inf) + (-inf) : on ne sait pas ce que ça donne de manière générale.
On pourrait penser que ça donne 0. C'est parfois le cas.
Prenons les 3 exemples suivants :
EXEMPLE 1 :
u(n)=n² et v(n)=-n²
On a bien lim u = +inf et lim v = -inf
Et comme (u+v)(n)=0, on a bien lim (u+v) = 0
EXEMPLE 2 :
u(n)=n² et v(n)=-n
On a bien lim u = +inf et lim v = -inf
Mais lim (u+v)(n)=lim n²-n=lim n² (terme prépondérant à l'infini) = +inf
Donc cette fois-ci on n'obtient pas 0 !!!
EXEMPLE 3 :
u(n)=n² et v(n)=-n²+1
On a bien lim u = +inf et lim v = -inf
Mais lim (u+v)(n)=lim n²+(-n²+1) = lim 1 = 1
Encore une fois, on n'obtient pas 0.
En résumé, on a obtenu, avec la même forme (+inf) + (-inf) trois résultats différents : 0, +inf, 1
Et on pourrait en obtenir encore d'autres.
Finalement, la forme (+inf) + (-inf) n'aboutissant pas toujours au même résultat, on l'appelle "forme indéterminée", et pour trouver la limite, on est obligé de changer de forme.
Bon courage.
Bonjour,
d'une manière générale, oui, c'est bien ce que disent ces théorèmes, c'est à dire des banalités...
Mais là où ils deviennent précieux, c'est lorsque le calcul n'est plus possible (ce qu'on appelle des "formes indéterminées").
Par exemple, si lim u = +inf et lim v = -inf, dire que lim (u+v)=lim u + lim v ne permet pas de conclure, car (+inf) + (-inf) : on ne sait pas ce que ça donne de manière générale.
On pourrait penser que ça donne 0. C'est parfois le cas.
Prenons les 3 exemples suivants :
EXEMPLE 1 :
u(n)=n² et v(n)=-n²
On a bien lim u = +inf et lim v = -inf
Et comme (u+v)(n)=0, on a bien lim (u+v) = 0
EXEMPLE 2 :
u(n)=n² et v(n)=-n
On a bien lim u = +inf et lim v = -inf
Mais lim (u+v)(n)=lim n²-n=lim n² (terme prépondérant à l'infini) = +inf
Donc cette fois-ci on n'obtient pas 0 !!!
EXEMPLE 3 :
u(n)=n² et v(n)=-n²+1
On a bien lim u = +inf et lim v = -inf
Mais lim (u+v)(n)=lim n²+(-n²+1) = lim 1 = 1
Encore une fois, on n'obtient pas 0.
En résumé, on a obtenu, avec la même forme (+inf) + (-inf) trois résultats différents : 0, +inf, 1
Et on pourrait en obtenir encore d'autres.
Finalement, la forme (+inf) + (-inf) n'aboutissant pas toujours au même résultat, on l'appelle "forme indéterminée", et pour trouver la limite, on est obligé de changer de forme.
Bon courage.